资料整理：高良超
月掩星的计算与日食的计算有其类似之点，也有相异之处。由于星是点光源，故无半影，而本影所占的空间是与月球外切、半径为k的旋转圆柱。这里的贝塞尔的方法还是可用，但应加以很大的简化。
月掩星的两相是“掩始”，即星消失在月面的边沿处和“复现”，即星再从月面的边沿出来。
取在地心与星的方向正交的平面与基本面。坐标三面形的规定与日食的计算里相同：X轴是基本面与地赤道的交线，Z轴指向星，y轴与北极的方向成一锐角，而且这三面形是顺向的。设△表示月亮的地心距，α，δ与α’δ’分别表示月亮与星的地心赤道坐标，则月心的直角坐标可以表为
x=△cosδ月sin(α月-α’)
y=△〔sinδ月cosd-cosδ月sindcos(α月-α’)〕
z=△〔sinδ月sind+cosδ月cosdcos(α月-α’)〕
这里长度的单位为地球的赤道半径。设π’表示月亮的视差，则
△=cosecπ’
Z点的赤经α，通常用Z点的历书时角M来代替，即
M=历书恒星时-α星
s’、π’分别是星在距离地球平均天文单位处的视半径和地平视差，这里即将求的是月掩火星情况，令火星视半径s’=4.68’’，π’=8.794’’，而k=0.272488，因此：
sinS’=0.0000226893
sinπ’=0.0000426345
ksinπ’=0.00001161739
可得sinf1=0.00003430669/gR
sinf2=0.00001107191/gR
gR为火星与月亮的距离
C1=Z+kcscf1
C2=Z-kcscf2
L1=C1tanf1
L2=C2tanf2
算例：计算2019年7月4日 月掩火星情况
一、求火星与月亮赤经相合时的力学时
从星历表中查出与α月-α火=0的相近的数据前后共四个如下：
7月4日
力学时 α火 α月 α月-α火 △’ △’’
04时 123º54’32.70’’ 122º52’04.95’’ -1º02’27’’.75
05时 123º56’12.30’’ 123º31’06.15’’ -0º25’06’’.15 +37’21’’.60
06时 123º57’51.90’’ 124º10’05.55’’ +0º12’13’’.65 +37’19’’.80 -1’’.80
07时 123º59’31.50’’ 124º49’03.00’’ +0º49’31.50’’ +37’17’’.85 -1.95
-f0=+25’06’’.15=+1506’’.15
△’½=37’19’’.80=+2239’’.8
△’’0+△’’1=-3’’.75
B2=n(n-1)/4
B2
-B2(△’’0+△’’1)
F
n
第一近似
0
0
1506.15
0.672448
第二近似
-0.055065
-0.21
1505.94
0.672355
第三近似
-0.055073
-0.21
1505.94
0.672355
0.672355是时的小数，化为分秒后得40分20.478秒，因而所求火星与月亮赤经相合的时刻为：2019年7月4日5时40分20.478秒（力学时）。
现在以所算出月亮与火星赤经相合的时刻：7月4日5h40m20.5s为引数，从历表查出该时刻火星与月亮的赤纬差值是：
-316.9”=-0.08803º，肯定有中心掩发生。
如果要计算这次月掩火星，必先求力学时7月4日3时~8时的月亮、火星要素。
现将各小时的火星、月亮要素分别列成表 1.1和表 1.2
表1.1月亮要素表
力学时
α
δ
π
03时
122º13’01.80’’
+ 21°17’02.63”
3609.09’’
04时
122º52’04.95’’
+21°12’26.88”
3609.70
05时
123º31’06.15’’
+21°07’42.08”
3610.29
06时
124º10’05.55’’
+21°02’48.27”
3610.85
07时
124º49’03.00
+20°57’45.50”
3611.39
08时
125º27’58.35’’
+20°52’33.82”
3611.90
表1.2火星要素表
力学时
α
δ
R
恒星时
03时
123º52’53.10’’
+21°00’05.30”
2.57525505
326º50’19.80’’
04时
123º54’32.70
+20°59’44.11”
2.57540192
341º52’47.55’’
05时
123º56’12.30’’
+20°59’22.91”
2.57554868
356º55’15.45’’
06时
123º57’51.90’’
+20°59’01.69”
2.57569534
11º57’43.34’’
07时
123º59’31.50’’
+20°58’40.45”
2.57584190
27º00’11.10’’
08时
124º01’11.10’’
+20°58’19.20”
2.57598835
42º02’39.00’’
二、贝塞尔根数计算
力学时7月4日5时
α月 123º31’06.15’’
δ月 +21º07’42’’.08
α火 123º56’12.30’’
δ火 +20º59’22’’.91
sinα月 +0.83370877
sinδ月 +0.36045848
sinα火+0.82965437
sinδ火 +0.35820007
cosα月-0.55220439
cosδ月 +0.93277526
cosα火-0.55827737
cosδ火+0.93364485
π月 3610.29’’
R 2.57554868
sinπ0 0.0000426345
sinπ月 0.01750229
Rsinπ月0.045078
b 0.00094579
△ 57.135381
cosδ火cosα火 -0.52123279
cosδ火sinα火 +0.77460253
sinδ火 +0.35820007
bcosδ月cosα月-0.00048716
bcosδ月sinα月 +0.00073551
bsinδ月 +0.00034092
gcosdcosα -0.52074563
gcosdsinα +0.77386702
gsind +0.35785915
tanα -1.48607492
g² 0.99810935
sind +0.35819792
α 123°56’13’’.72
g 0.99905423
cosd +0.93364568
α月-α 359°34’52’’.43
sin(α月-α) -0.00730884
cos(α月-α) +0.99997329
cosδ月×
sinδ月cosd +0.33654050
sinδ月sind +0.12911548
sin(α月-α) -0.00681751
-cosδ月sind×
cosδ月cosd×
cos(α月-α) -0.33410923
cos(α月-α) +0.87085833
X -0.389521031
和 +0.00243127
和 0.99997381
gR 2.57311280
Y +0.138911538
Z 57.13388462
k 0.272488
sinf1 0.000013333
sinf2 0.000004303
z 57.13388
kcscf1 20437.11093
kcscf2 63325.12201
C1 20494.24481
C2 -63267.98813
tαnf1 0.000013333
tanf2 0.000004303
L1 0.273249766
L2 -0.272242153
2019年7月4日5时 历书恒星时 356°55’15’’.45
α 123°56’13’’.72
历书时角M 232°59’01’’.73
同样的计算得到6时的根数：
α月 124º10’05.55’’
δ月 +21º02’48’’.27
α火 123º57’51.90’’
δ火 +20º59’01’’.69
sinα月 +0.82739233
sinδ月 +0.35912944
sinα火+0.82938470
sinδ火 +0.35810402
cosα月-0.56162437
cosδ月 +0.93328776
cosα火-0.55867793
cosδ火+0.93368170
π月 3610.85’’
R 2.57569534
sinπ0 0.0000426345
sinπ月 0.01750500
Rsinπ月0.04508755
b 0.00094559
△ 57.126535
cosδ火cosα火 -0.52162736
cosδ火sinα火 +0.77438132
sinδ火 +0.35810402
bcosδ月cosα月-0.00049564
bcosδ月sinα月 +0.00073018
bsinδ月 +0.00033959
gcosdcosα -0.52113172
gcosdsinα +0.77365114
gsind +0.35776443
tanα -1.48455968
g² 0.99810974
sind +0.35810305
α 123°57’51’’.21
g 0.99905442
cosd +0.93368207
α月-α 0°12’14’’.34
sin(α月-α) +0.00356017
cos(α月-α) +0.99999366
cosδ月×
sinδ月cosd +0.33531272
sinδ月sind +0.12860535
sin(α月-α) +0.00332266
-cosδ月sind×
cosδ月cosd×
cos(α月-α) -0.33421107
cos(α月-α) +0.87138852
X +0.18981222
和 +0.00110165
和 0.99999387
gR 2.57325981
Y +0.06293345
Z 57.12618481
k 0.272488
sinf1 0.000013332
sinf2 0.000004303
z 57.12618
kcscf1 20438.64386
kcscf2 63325.12201
C1 20495.77004
C2 -63267.99583
tαnf1 0.000013332
tanf2 0.000004303
L1 0.273249606
L2 -0.272242186
2019年7月4日6时 历书恒星时 11°57’43’’.34
α 123°57’51’’.21
历书时角M 247°59’52’’.13
2019年7月4日力学时5~6时的贝塞尔根数：
x Y M D L1 L2 tanf1 tanf2
-0.38952 +0.13891 232.984 +20.990 0.27325 -0.27224 0.000013333 0.000004303
x Y M D L1 L2 tanf1 tanf2
+0.18981 +0.06293 247.998 +20.984 0.27325 -0.27224 0.000013332 0.000004303
由此求得各项每时变量
x’ Y’ M’ D’ L1’ L2’ tanF1’ tanF2’
0.57933 -0.07598 15.0140 -0.0058 -0.00000 -0.00000 0.00000 0.00000
而后据此推导本次掩星的见掩情况（T0=力学时6时）。
由下式推算距T0=6时的其他时刻贝塞尔根数：
X=X0+X’t Y=Y0+Y’t M=M0+M’t D=D0+D’t L1=L10+L1’t L2=L20+L2’t
三、本影的中心计算
T=6时
ω= 1.002931
cosφ1sinH=x= +0.18981
P= 0.262044
cosφ1cosH=Bb2-y1b1 +0.89175
b= -0.09379
sinφ1=Bb1+y1b2 +0.41079
c= 0.58524
tanφ=1.0033641tanφ1 +24º19’36.03’’
y1= 0.06311
λ=M-H-1.002738△T +124º18’30.69’’
b1= 0.35915
L2’=L2-Btanf2 -0.27224
b2= 0.93328
α= 0.34552
B= 0.97979
n= 0.35802
7200L2’/n=5474.9秒
sinh= 78.4º
k= 0.99387
12756L2’/k 3494.1 km
说明：本影中心线力学时6时或北京时间13:58:50.5时所见的掩星现象；这时月亮本影中心线已到达东经124º18’31’’，北纬24º19’36’’，火星被月亮遮掩达5475秒或1小时31分14.9秒，这时的火星和月亮在当地的地平高度在78.4º左右，南北宽度达3494.1公里。
四、求月掩星的两相时刻
1.接触时刻的第一次近似
先用T0=6时来求掩甚的时刻（用角秒表示）
x +683’’ x’+2086’’ n² 443×10^4 xx’+yy’ 136×10^4 t -0h.3076
y +227’’ y’-274’’ n 2104’’ xy’-x’y 29×10^4 w 136’’
掩甚时刻的力学时=T0+t=6h-0h.3076=5h.6924=5h41.5m
S月=983.87’’，S火=1.82’’，π火=3.41’’，π月=3610.85’’，π1=3604.86，f1=3610.09，f2=3606.45，L1=4593.96’’，L2=4590.32’’
外切
内切
L
4594’’
4590
L²-W²
2109×10^4
2105×10^4
（L²-W²）½
4592
4588
（L²-W²）½/n
2h.1825
2h.1806
始
3h.5099=3h31m
3h.5118=3h31m
终
7h.8749=7h52m
7h.8730=7h52m
2.接触时刻的第二次近似
用第一次近似所得的值为引数，从贝塞尔根数内插得x、y、L1、L2，而x’y’是从x，y的差数求得，计算过程如下：（已化为角秒），计算过程如下：
外切
内切
始
终
始
终
T0
3h.5099
7h.8749
3h.5118
7h.8730
x
-4510.00
+4593.6
-4506.0
+4589.6
y
+907.7
-286.3
+907.1
-285.8
x’
+2085.6
+2085.6
+2085.6
+2085.6
y’
-273.5
-273.5
-273.5
-273.5
n²/100
44245
44245
44245
44245
n
2103.5
2103.5
2103.5
2103.5
(xy’-x’y)/100
-6596
-6592
-6595
-6592
(xx’+yy’)/100
-96543
96587
-96458
96502
W
313’’.6
313.4
313.5
313.4
L
4592.1
4595.2
4588.5
4591.6
(L²-W²)/100
209890
210176
209561
209846
(L²-W²)½
4581.4
4584.5
4577.8
4580.9
(xx’+yy’)/n²
-2h.1820
+2h.1830
-2h.1801
+2h.1811
±(L²-W²)½/n
-2h.1780
+2h.1795
-2h.1763
+2h.1778
t
+0.0040
-0.0035
+0.0038
-0.0033
T0+t
3:30:50.0
7:52:17.0
3:30:56.2
7:52:10.9
3.求本次月掩火星掩甚时刻：
n²=x’²+y’²=0.341396209
τ=-(X0X’+Y0Y’)/n²=-0.308091312+6=5.691908688h=5:41:30.87（力学时）
4.求地面最先看到和最后看到的掩始、掩终历书经度和纬度
3h.5156
7h.8697
（1）X
-1.24948
+1.27298
y
+0.25169
-0.07913
y1
0.25243
-0.07936
sind1
0.35939
+0.35898
cosd1
0.93318
+0.93334
（2）-y1sind1
-0.09072
+0.02849
（3）+y1cosd1
0.23556
-0.07407
tanH
+13.77293
44.68164
H
265º50’50’’
88º43’04’’
M
210º41’50’’
276º04’11’’
λ*
-55º09’00’’
-172º38’53’’
cscH
-1.002632
+1.00025
tanφ1
+0.18803
-0.05817
tanφ
+0.18866
-0.05837
φ
+10º41’03’’
-3º20’26’’
五、求本次掩甚的地点
5.求掩甚时的历书经度和纬度。
X=0.01132 Y1=0.08659 sind1=0.35919 cosd1=0.93326
(1) X= +0.01132
(2)-Y1sind1= -0.03110
(3)+ζ1cosd1= +0.92969
(4)+η1cosd1= +0.08081
(5)+ζ1sind1= +0.35782
(1)÷〔(2)+(3)〕=tanH +0.01260
H 0º43’18’’
M 243º22’20’’
λ* -117º20’58’’
(4)+(5)sinφ1 +0.43863
tanφ1 +0.48809
tanφ +0.48973
φ +26º05’33’
六、地方视午的掩星
火星与月亮赤经相合时候的力学时为2019年7月4日5时40分20.5秒
X=ξ=0 y=0.08782 sind1=0.35919
P1= 0.99708 y1=η1=0.08808 cosd1=0.93326
ζ1²=1-ξ²-η1² 0.99346 ζ1=0.99672
tanH=ξ/-η1sind+ζ1cosd=0 （1-e²）-½ 1.0033641
H=0º00’00’’ sinφ1=+η1cosd1+ζ1sind1 0.44021
M=243º04’43’’ tanφ1 0.49027
λ*=-116º55’17’’ tanφ 0.49192
λ=+117º12’42’’ φ 26º11’37’’
归纳以上结果，得到本次月掩火星概况：
月掩火星概况
见掩地点
北京时 地理纬度 地理经度
掩始外切 7月4日 11h29m41s
掩始内切 11h29m47s +10°41.1′ +55°26.4′
地方视午的掩星 13h39m11s +26°11.6′ +117°12.7′
掩 甚 13h40m21s +26°05.5’ +117°38.4’
掩终内切 15h51m01s -03°20.6’ +172°56.3’
掩终外切 15h51m08s
七、求地方见掩时刻
计算2019年7月4日上海见月掩火星情况： 上海：东8h05m50.39s，北纬31.23°，地心坐标演算如下：tanμ=0.604304
ρsinφ’=0.515468 ρcosφ’=0.855864
解：先以T0=6h的贝塞尔根数进行第一次近似计算
cosd=0.93368 sind=0.35811
sinH=0.15932 cosH=0.98723
ξ=+0.13636 η=0.17870 L2’=-0.27224
ζ=0.97349 n²=0.135989 n=0.368766 ξ’=0.22141 п’=0.01280 υ=0.05345 v=-0.11577 u’=0.35792 v’=-0.08878 sinψ=-0.365475 cosψ=±0.930821
τm=-0.216h
τ=±0.687h
掩始t=0-0.216-0.687=-0.903h
掩甚t=0-0.216 =-0.216h
复现t=0-0.216+0.687=0.471h
以第一次所得近似值为引数求该时刻的X，Y，d，L2，，M，进行第二次近似计算：
X
掩 始（-0.903）
-0.33332
掩 甚（-0.216）
+0.06467
复 现（0.471）
0.46267
Y
0.13154
0.07934
0.02714
sind
0.35819
0.35813
0.35806
cosd
0.93365
0.93367
0.93370
M
234.440
244.755
255.070
sinH
cosH
-0.07655
0.99707
0.10322
0.99466
0.27966
0.96010
ξ
-0.06552
0.08834
0.23935
η
0.17560
0.17640
0.18707
ζ
0.98137
0.97943
0.95180
ξ’
0.22362
0.22308
0.21533
η’
-0.00615
0.00829
0.02246
L’
-0.27224
-0.27224
-0.27224
μ
-0.26780
-0.02367
0.22332
v
-0.04406
-0.09706
-0.15993
μ’
0.35571
0.35625
0.36400
v’
-0.06983
-0.08427
-0.09844
n²
0.131406
0.134015
0.142186
n
0.362499
0.366081
0.377076
sinψ
-0.3483
-0.3670
-0.3529
cosψ
0.937381
0.930235
0.935647
τ
-0h.70398
――――
+0h.675515
τm
+0h.70151
+0h.00189
-0h.682430
即掩始：-0h.903-0h.70398+0h.70151=-0h.09547+T0=5h.09453=05:05:40（力学时）
掩甚：-0h.216+0h.00189=-0h.21411+T0=5h.78589=05:47:09（力学时）
复现：0h.471+0.675515-0.682430=0h.464085+T0=06:27:51（力学时）
化为北京时间得到（上海见月掩火星情况）
掩 始 13:04:31
掩 甚 13:46:00
复 现 14:26:41
如果要求精度更高，可以将数据代入再算一次，直到τm±τ近似于0。
求方位角：tan P=u/v
掩始：P=80.7°
复现：P=305.6°
有时行星或卫星也能掩着明亮的恒星，这些现象的观测可能对于行星或卫星的直径与其大气，提供有趣的资料。这种掩星理论，容易据月掩星的理论去推阐的。
说明：本文根据VSOP87/ELP2000-82历表结合掩星理论综合计算得出的，算法是以合时前后的两个根数去推算一切未知数，并未实际计算3时、4时、7时、8时的贝塞尔根数（读者如果有时间可以自己去推算其他时刻的贝塞尔根数），因此有几秒钟的误差，但不会影响精度和观测的。