资料整理：高良超

　　月掩星的计算与日食的计算有其类似之点，也有相异之处。由于星是点光源，故无半影，而本影所占的空间是与月球外切、半径为k的旋转圆柱。这里的贝塞尔的方法还是可用，但应加以很大的简化。

　　月掩星的两相是“掩始”，即星消失在月面的边沿处和“复现”，即星再从月面的边沿出来。

　　取在地心与星的方向正交的平面与基本面。坐标三面形的规定与日食的计算里相同：X轴是基本面与地赤道的交线，Z轴指向星，y轴与北极的方向成一锐角，而且这三面形是顺向的。设△表示月亮的地心距，α，δ与α'δ'分别表示月亮与星的地心赤道坐标，则月心的直角坐标可以表为
　　x=△cosδ月sin(α月-α')
　　y=△〔sinδ月cosd-cosδ月sindcos(α月-α')〕
　　z=△〔sinδ月sind+cosδ月cosdcos(α月-α')〕

　　这里长度的单位为地球的赤道半径。设π'表示月亮的视差，则
　　△=cosecπ'
Z点的赤经α，通常用Z点的历书时角M来代替，即
　　M=历书恒星时-α星
　　s'、π'分别是星在距离地球平均天文单位处的视半径和地平视差，这里即将求的是月掩火星情况，令火星视半径s'=4.68''，π'=8.794''，而k=0.272488，因此：
　　sinS'=0.0000226893
　　sinπ'=0.0000426345
　　ksinπ'=0.00001161739
可得sinf1=0.00003430669/gR
　　sinf2=0.00001107191/gR

　　gR为火星与月亮的距离
　　C1=Z+kcscf1
　　C2=Z-kcscf2
　　L1=C1tanf1
　　L2=C2tanf2

算例：计算2019年7月4日 月掩火星情况

一、求火星与月亮赤经相合时的力学时

从星历表中查出与α月-α火=0的相近的数据前后共四个如下：
7月4日
力学时     α火           α月            α月-α火        △'       △''
04时 123º54'32.70''  122º52'04.95''  -1º02'27''.75
05时 123º56'12.30''  123º31'06.15''  -0º25'06''.15  +37'21''.60  
06时 123º57'51.90''  124º10'05.55''  +0º12'13''.65  +37'19''.80  -1''.80
07时 123º59'31.50''  124º49'03.00''  +0º49'31.50''  +37'17''.85  -1.95
-f0=+25'06''.15=+1506''.15
△'½=37'19''.80=+2239''.8
△''0+△''1=-3''.75
B2=n(n-1)/4

	B2	-B2(△''0+△''1)	F	n
第一近似	0	0	1506.15	0.672448
第二近似	-0.055065	-0.21	1505.94	0.672355
第三近似	-0.055073	-0.21	1505.94	0.672355

　　0.672355是时的小数，化为分秒后得40分20.478秒，因而所求火星与月亮赤经相合的时刻为：2019年7月4日5时40分20.478秒（力学时）。
　　现在以所算出月亮与火星赤经相合的时刻：7月4日5h40m20.5s为引数，从历表查出该时刻火星与月亮的赤纬差值是：
-316.9"=-0.08803º，肯定有中心掩发生。
　　如果要计算这次月掩火星，必先求力学时7月4日3时~8时的月亮、火星要素。

　　现将各小时的火星、月亮要素分别列成表 1.1和表 1.2

表1.1月亮要素表

力学时	α	δ	π
03时	122º13'01.80''	+ 21°17'02.63"	3609.09''
04时	122º52'04.95''	+21°12'26.88"	3609.70
05时	123º31'06.15''	+21°07'42.08"	3610.29
06时	124º10'05.55''	+21°02'48.27"	3610.85
07时	124º49'03.00	+20°57'45.50"	3611.39
08时	125º27'58.35''	+20°52'33.82"	3611.90

表1.2火星要素表

力学时	α	δ	R	恒星时
03时	123º52'53.10''	+21°00'05.30"	2.57525505	326º50'19.80''
04时	123º54'32.70	+20°59'44.11"	2.57540192	341º52'47.55''
05时	123º56'12.30''	+20°59'22.91"	2.57554868	356º55'15.45''
06时	123º57'51.90''	+20°59'01.69"	2.57569534	11º57'43.34''
07时	123º59'31.50''	+20°58'40.45"	2.57584190	27º00'11.10''
08时	124º01'11.10''	+20°58'19.20"	2.57598835	42º02'39.00''

二、贝塞尔根数计算
力学时7月4日5时

α月  123º31'06.15''	δ月  +21º07'42''.08	α火 123º56'12.30''	δ火 +20º59'22''.91
sinα月 +0.83370877	sinδ月 +0.36045848	sinα火+0.82965437	sinδ火 +0.35820007
cosα月-0.55220439	cosδ月 +0.93277526	cosα火-0.55827737	cosδ火+0.93364485
π月 3610.29''	R      2.57554868	sinπ0 0.0000426345
sinπ月 0.01750229	Rsinπ月0.045078	b      0.00094579	△    57.135381

cosδ火cosα火 -0.52123279	cosδ火sinα火  +0.77460253	sinδ火 +0.35820007
bcosδ月cosα月-0.00048716	bcosδ月sinα月 +0.00073551	bsinδ月 +0.00034092
gcosdcosα    -0.52074563	gcosdsinα     +0.77386702	gsind         +0.35785915
tanα          -1.48607492	g²             0.99810935	sind          +0.35819792
α           123°56'13''.72	g              0.99905423	cosd          +0.93364568
α月-α       359°34'52''.43	sin(α月-α)     -0.00730884	cos(α月-α)    +0.99997329
cosδ月×	sinδ月cosd    +0.33654050	sinδ月sind     +0.12911548
sin(α月-α)    -0.00681751	-cosδ月sind×	cosδ月cosd×
	cos(α月-α)     -0.33410923	cos(α月-α)    +0.87085833
X           -0.389521031	和             +0.00243127	和            0.99997381
gR          2.57311280	Y             +0.138911538	Z             57.13388462
k            0.272488	sinf1         0.000013333	sinf2         0.000004303
z            57.13388	kcscf1        20437.11093	kcscf2        63325.12201
	C1           20494.24481	C2          -63267.98813
	tαnf1        0.000013333	tanf2        0.000004303
	L1            0.273249766	L2           -0.272242153

2019年7月4日5时  历书恒星时 356°55'15''.45
                                 α 123°56'13''.72
                                 历书时角M 232°59'01''.73

　　同样的计算得到6时的根数：

α月  124º10'05.55''	δ月  +21º02'48''.27	α火 123º57'51.90''	δ火  +20º59'01''.69
sinα月 +0.82739233	sinδ月 +0.35912944	sinα火+0.82938470	sinδ火 +0.35810402
cosα月-0.56162437	cosδ月 +0.93328776	cosα火-0.55867793	cosδ火+0.93368170
π月 3610.85''	R      2.57569534	sinπ0 0.0000426345
sinπ月 0.01750500	Rsinπ月0.04508755	b      0.00094559	△    57.126535

cosδ火cosα火 -0.52162736	cosδ火sinα火  +0.77438132	sinδ火 +0.35810402
bcosδ月cosα月-0.00049564	bcosδ月sinα月 +0.00073018	bsinδ月 +0.00033959
gcosdcosα    -0.52113172	gcosdsinα     +0.77365114	gsind         +0.35776443
tanα          -1.48455968	g²             0.99810974	sind          +0.35810305
α           123°57'51''.21	g              0.99905442	cosd          +0.93368207
α月-α       0°12'14''.34	sin(α月-α)     +0.00356017	cos(α月-α)    +0.99999366
cosδ月×	sinδ月cosd    +0.33531272	sinδ月sind     +0.12860535
sin(α月-α)    +0.00332266	-cosδ月sind×	cosδ月cosd×
	cos(α月-α)     -0.33421107	cos(α月-α)    +0.87138852
X           +0.18981222	和             +0.00110165	和            0.99999387
gR          2.57325981	Y             +0.06293345	Z             57.12618481
k            0.272488	sinf1         0.000013332	sinf2         0.000004303
z            57.12618	kcscf1        20438.64386	kcscf2        63325.12201
	C1           20495.77004	C2          -63267.99583
	tαnf1        0.000013332	tanf2        0.000004303
	L1            0.273249606	L2            -0.272242186

2019年7月4日6时 历书恒星时 11°57'43''.34
                                 α 123°57'51''.21
                                 历书时角M 247°59'52''.13

2019年7月4日力学时5~6时的贝塞尔根数：
   x         Y       M       D       L1      L2       tanf1         tanf2
-0.38952 +0.13891 232.984 +20.990 0.27325 -0.27224 0.000013333 0.000004303
   x         Y      M        D      L1       L2       tanf1         tanf2
+0.18981 +0.06293 247.998 +20.984 0.27325 -0.27224 0.000013332 0.000004303
由此求得各项每时变量
   x'        Y'      M'      D'      L1'       L2'     tanF1'  tanF2'
0.57933 -0.07598 15.0140 -0.0058 -0.00000 -0.00000 0.00000 0.00000
而后据此推导本次掩星的见掩情况（T0=力学时6时）。
　　由下式推算距T0=6时的其他时刻贝塞尔根数：
X=X0+X't  Y=Y0+Y't  M=M0+M't  D=D0+D't  L1=L10+L1't  L2=L20+L2't

三、本影的中心计算
T=6时

ω=       1.002931	cosφ1sinH=x=         +0.18981
P=       0.262044	cosφ1cosH=Bb2-y1b1  +0.89175
b=       -0.09379	sinφ1=Bb1+y1b2       +0.41079
c=        0.58524	tanφ=1.0033641tanφ1 +24º19'36.03''
y1=       0.06311	λ=M-H-1.002738△T  +124º18'30.69''
b1=       0.35915	L2'=L2-Btanf2        -0.27224
b2=       0.93328	α=                    0.34552
B=        0.97979	n=                    0.35802
7200L2'/n=5474.9秒	sinh=                 78.4º
k=        0.99387	12756L2'/k            3494.1 km

说明：本影中心线力学时6时或北京时间13:58:50.5时所见的掩星现象；这时月亮本影中心线已到达东经124º18'31''，北纬24º19'36''，火星被月亮遮掩达5475秒或1小时31分14.9秒，这时的火星和月亮在当地的地平高度在78.4º左右，南北宽度达3494.1公里。

四、求月掩星的两相时刻

1.接触时刻的第一次近似
先用T0=6时来求掩甚的时刻（用角秒表示）
x +683''    x'+2086''  n² 443×10^4  xx'+yy' 136×10^4  t  -0h.3076
y +227''  y'-274''   n 2104''       xy'-x'y 29×10^4  w 136''
掩甚时刻的力学时=T0+t=6h-0h.3076=5h.6924=5h41.5m
S月=983.87''，S火=1.82''，π火=3.41''，π月=3610.85''，π1=3604.86，f1=3610.09，f2=3606.45，L1=4593.96''，L2=4590.32''

	外切	内切
L	4594''	4590
L²-W²	2109×10^4	2105×10^4
（L²-W²）½	4592	4588
（L²-W²）½/n	2h.1825	2h.1806
始	3h.5099=3h31m	3h.5118=3h31m
终	7h.8749=7h52m	7h.8730=7h52m

2.接触时刻的第二次近似
用第一次近似所得的值为引数，从贝塞尔根数内插得x、y、L1、L2，而x'y'是从x，y的差数求得，计算过程如下：（已化为角秒），计算过程如下：

	外切		内切
	始	终	始	终
T0	3h.5099	7h.8749	3h.5118	7h.8730
x	-4510.00	+4593.6	-4506.0	+4589.6
y	+907.7	-286.3	+907.1	-285.8
x'	+2085.6	+2085.6	+2085.6	+2085.6
y'	-273.5	-273.5	-273.5	-273.5
n²/100	44245	44245	44245	44245
n	2103.5	2103.5	2103.5	2103.5
(xy'-x'y)/100	-6596	-6592	-6595	-6592
(xx'+yy')/100	-96543	96587	-96458	96502
W	313''.6	313.4	313.5	313.4
L	4592.1	4595.2	4588.5	4591.6
(L²-W²)/100	209890	210176	209561	209846
(L²-W²)½	4581.4	4584.5	4577.8	4580.9
(xx'+yy')/n²	-2h.1820	+2h.1830	-2h.1801	+2h.1811
±(L²-W²)½/n	-2h.1780	+2h.1795	-2h.1763	+2h.1778
t	+0.0040	-0.0035	+0.0038	-0.0033
T0+t	3:30:50.0	7:52:17.0	3:30:56.2	7:52:10.9

3.求本次月掩火星掩甚时刻：
n²=x'²+y'²=0.341396209
τ=-(X0X'+Y0Y')/n²=-0.308091312+6=5.691908688h=5:41:30.87（力学时）

4.求地面最先看到和最后看到的掩始、掩终历书经度和纬度

	3h.5156	7h.8697
（1）X	-1.24948	+1.27298
y	+0.25169	-0.07913
y1	0.25243	-0.07936
sind1	0.35939	+0.35898
cosd1	0.93318	+0.93334
（2）-y1sind1	-0.09072	+0.02849
（3）+y1cosd1	0.23556	-0.07407
tanH	+13.77293	44.68164
H	265º50'50''	88º43'04''
M	210º41'50''	276º04'11''
λ*	-55º09'00''	-172º38'53''
cscH	-1.002632	+1.00025
tanφ1	+0.18803	-0.05817
tanφ	+0.18866	-0.05837
φ	+10º41'03''	-3º20'26''

五、求本次掩甚的地点

5.求掩甚时的历书经度和纬度。
X=0.01132 Y1=0.08659  sind1=0.35919 cosd1=0.93326
(1) X=              +0.01132
(2)-Y1sind1=        -0.03110
(3)+ζ1cosd1=       +0.92969
(4)+η1cosd1=       +0.08081
(5)+ζ1sind1=        +0.35782
(1)÷〔(2)+(3)〕=tanH +0.01260
                 H  0º43'18''
                 M 243º22'20''
                 λ* -117º20'58''
(4)+(5)sinφ1         +0.43863
       tanφ1       +0.48809
       tanφ        +0.48973
         φ       +26º05'33'

六、地方视午的掩星

火星与月亮赤经相合时候的力学时为2019年7月4日5时40分20.5秒
X=ξ=0                    y=0.08782       sind1=0.35919
P1=         0.99708    y1=η1=0.08808    cosd1=0.93326
ζ1²=1-ξ²-η1² 0.99346    ζ1=0.99672

tanH=ξ/-η1sind+ζ1cosd=0   （1-e²）-½                 1.0033641
H=0º00'00''                 sinφ1=+η1cosd1+ζ1sind1   0.44021
M=243º04'43''               tanφ1                     0.49027
λ*=-116º55'17''              tanφ                      0.49192
λ=+117º12'42''                 φ                     26º11'37''

归纳以上结果，得到本次月掩火星概况：

月掩火星概况
                                见掩地点
                     北京时       地理纬度      地理经度
掩始外切 7月4日 11h29m41s  
掩始内切        11h29m47s   +10°41.1′   +55°26.4′
地方视午的掩星  13h39m11s   +26°11.6′  +117°12.7′
掩       甚       13h40m21s   +26°05.5'    +117°38.4'
掩终内切       15h51m01s   -03°20.6'      +172°56.3'
掩终外切       15h51m08s  

七、求地方见掩时刻

　　计算2019年7月4日上海见月掩火星情况：
上海：东8h05m50.39s，北纬31.23°，地心坐标演算如下：tanμ=0.604304
ρsinφ'=0.515468 ρcosφ'=0.855864

解：先以T0=6h的贝塞尔根数进行第一次近似计算
cosd=0.93368  sind=0.35811
sinH=0.15932  cosH=0.98723
ξ=+0.13636  η=0.17870  L2'=-0.27224
ζ=0.97349  n²=0.135989  n=0.368766  ξ'=0.22141  п'=0.01280  υ=0.05345  v=-0.11577  u'=0.35792  v'=-0.08878  sinψ=-0.365475  cosψ=±0.930821
τm=-0.216h
τ=±0.687h
掩始t=0-0.216-0.687=-0.903h
掩甚t=0-0.216      =-0.216h
复现t=0-0.216+0.687=0.471h
以第一次所得近似值为引数求该时刻的X，Y，d，L2，，M，进行第二次近似计算：

X	掩 始（-0.903）  -0.33332	掩 甚（-0.216）  +0.06467	复 现（0.471）  0.46267
Y	0.13154	0.07934	0.02714
sind	0.35819	0.35813	0.35806
cosd	0.93365	0.93367	0.93370
M	234.440	244.755	255.070
sinH     cosH	-0.07655  0.99707	0.10322  0.99466	0.27966  0.96010
ξ	-0.06552	0.08834	0.23935
η	0.17560	0.17640	0.18707
ζ	0.98137	0.97943	0.95180
ξ'	0.22362	0.22308	0.21533
η'	-0.00615	0.00829	0.02246
L'	-0.27224	-0.27224	-0.27224
μ	-0.26780	-0.02367	0.22332
v	-0.04406	-0.09706	-0.15993
μ'	0.35571	0.35625	0.36400
v'	-0.06983	-0.08427	-0.09844
n²	0.131406	0.134015	0.142186
n	0.362499	0.366081	0.377076
sinψ	-0.3483	-0.3670	-0.3529
cosψ	0.937381	0.930235	0.935647
τ	-0h.70398	――――	+0h.675515
τm	+0h.70151	+0h.00189	-0h.682430

即掩始：-0h.903-0h.70398+0h.70151=-0h.09547+T0=5h.09453=05:05:40（力学时）
掩甚：-0h.216+0h.00189=-0h.21411+T0=5h.78589=05:47:09（力学时）
复现：0h.471+0.675515-0.682430=0h.464085+T0=06:27:51（力学时）

化为北京时间得到（上海见月掩火星情况）
   掩 始 13:04:31
   掩 甚 13:46:00
   复 现 14:26:41
如果要求精度更高，可以将数据代入再算一次，直到τm±τ近似于0。

求方位角：tan P=u/v
掩始：P=80.7°
复现：P=305.6°
　　有时行星或卫星也能掩着明亮的恒星，这些现象的观测可能对于行星或卫星的直径与其大气，提供有趣的资料。这种掩星理论，容易据月掩星的理论去推阐的。

　　说明：本文根据VSOP87/ELP2000-82历表结合掩星理论综合计算得出的，算法是以合时前后的两个根数去推算一切未知数，并未实际计算3时、4时、7时、8时的贝塞尔根数（读者如果有时间可以自己去推算其他时刻的贝塞尔根数），因此有几秒钟的误差，但不会影响精度和观测的。