2019年月掩火星计算

资料整理:高良超

  月掩星的计算与日食的计算有其类似之点,也有相异之处。由于星是点光源,故无半影,而本影所占的空间是与月球外切、半径为k的旋转圆柱。这里的贝塞尔的方法还是可用,但应加以很大的简化。

  月掩星的两相是“掩始”,即星消失在月面的边沿处和“复现”,即星再从月面的边沿出来。

  取在地心与星的方向正交的平面与基本面。坐标三面形的规定与日食的计算里相同:X轴是基本面与地赤道的交线,Z轴指向星,y轴与北极的方向成一锐角,而且这三面形是顺向的。设△表示月亮的地心距,α,δ与α'δ'分别表示月亮与星的地心赤道坐标,则月心的直角坐标可以表为
  x=△cosδ月sin(α月-α')
  y=△〔sinδ月cosd-cosδ月sindcos(α月-α')〕
  z=△〔sinδ月sind+cosδ月cosdcos(α月-α')〕

  这里长度的单位为地球的赤道半径。设π'表示月亮的视差,则
  △=cosecπ'
Z点的赤经α,通常用Z点的历书时角M来代替,即
  M=历书恒星时-α星
  s'、π'分别是星在距离地球平均天文单位处的视半径和地平视差,这里即将求的是月掩火星情况,令火星视半径s'=4.68'',π'=8.794'',而k=0.272488,因此:
  sinS'=0.0000226893
  sinπ'=0.0000426345
  ksinπ'=0.00001161739
可得sinf1=0.00003430669/gR
  sinf2=0.00001107191/gR

  gR为火星与月亮的距离
  C1=Z+kcscf1
  C2=Z-kcscf2
  L1=C1tanf1
  L2=C2tanf2

算例:计算2019年7月4日 月掩火星情况

一、求火星与月亮赤经相合时的力学时

从星历表中查出与α月-α火=0的相近的数据前后共四个如下:
7月4日
力学时     α火           α月            α月-α火        △'       △''
04时 123º54'32.70''  122º52'04.95''  -1º02'27''.75
05时 123º56'12.30''  123º31'06.15''  -0º25'06''.15  +37'21''.60  
06时 123º57'51.90''  124º10'05.55''  +0º12'13''.65  +37'19''.80  -1''.80
07时 123º59'31.50''  124º49'03.00''  +0º49'31.50''  +37'17''.85  -1.95
-f0=+25'06''.15=+1506''.15
△'½=37'19''.80=+2239''.8
△''0+△''1=-3''.75
B2=n(n-1)/4

B2

-B2(△''0+△''1)

F

n

第一近似

0

0

1506.15

0.672448

第二近似

-0.055065

-0.21

1505.94

0.672355

第三近似

-0.055073

-0.21

1505.94

0.672355

  0.672355是时的小数,化为分秒后得40分20.478秒,因而所求火星与月亮赤经相合的时刻为:2019年7月4日5时40分20.478秒(力学时)。
  现在以所算出月亮与火星赤经相合的时刻:7月4日5h40m20.5s为引数,从历表查出该时刻火星与月亮的赤纬差值是:
-316.9"=-0.08803º,肯定有中心掩发生。
  如果要计算这次月掩火星,必先求力学时7月4日3时~8时的月亮、火星要素。

  现将各小时的火星、月亮要素分别列成表 1.1和表 1.2

表1.1月亮要素表

力学时

α

δ

π

03

122º13'01.80''

+ 21°17'02.63"

3609.09''

04

122º52'04.95''

+21°12'26.88"

3609.70

05

123º31'06.15''

+21°07'42.08"

3610.29

06

124º10'05.55''

+21°02'48.27"

3610.85

07

124º49'03.00

+20°57'45.50"

3611.39

08

125º27'58.35''

+20°52'33.82"

3611.90

表1.2火星要素表

力学时

α

δ

R

恒星时

03

123º52'53.10''

+21°00'05.30"

  2.57525505

326º50'19.80''

04

123º54'32.70

+20°59'44.11"

  2.57540192

341º52'47.55''

05

123º56'12.30''

+20°59'22.91"

  2.57554868

356º55'15.45''

06

123º57'51.90''

+20°59'01.69"

  2.57569534

11º57'43.34''

07

123º59'31.50''

+20°58'40.45"

  2.57584190

27º00'11.10''

08

124º01'11.10''

+20°58'19.20"

  2.57598835

42º02'39.00''

二、贝塞尔根数计算
力学时7月4日5时

α月  123º31'06.15''

δ月  +21º07'42''.08

α123º56'12.30''

δ+20º59'22''.91

sinα+0.83370877

sinδ+0.36045848

sinα+0.82965437

sinδ+0.35820007

cosα-0.55220439

cosδ+0.93277526

cosα-0.55827737

cosδ+0.93364485

π3610.29''

R      2.57554868

sinπ0 0.0000426345

sinπ0.01750229

Rsinπ0.045078

b      0.00094579

 △    57.135381

cosδcosα-0.52123279

cosδsinα火  +0.77460253

sinδ+0.35820007

bcosδcosα-0.00048716

bcosδsinα+0.00073551

bsinδ+0.00034092

gcosdcosα    -0.52074563

gcosdsinα     +0.77386702

gsind         +0.35785915

tanα          -1.48607492

g²             0.99810935

sind          +0.35819792

α           123°56'13''.72

g              0.99905423

cosd          +0.93364568

α-α       359°34'52''.43

sin(α-α)     -0.00730884

cos(α-α)    +0.99997329

cosδ×

sinδcosd    +0.33654050

sinδsind     +0.12911548

sin(α-α)    -0.00681751

-cosδsind×

cosδcosd×

cos(α-α)     -0.33410923

cos(α-α)    +0.87085833

 X           -0.389521031

和             +0.00243127

和            0.99997381

gR          2.57311280

Y             +0.138911538

Z             57.13388462

k            0.272488

sinf1         0.000013333

sinf2         0.000004303

z            57.13388

kcscf1        20437.11093

kcscf2        63325.12201

C1           20494.24481

C2          -63267.98813

tαnf1        0.000013333

tanf2        0.000004303

L1            0.273249766

L2           -0.272242153

2019年7月4日5时  历书恒星时 356°55'15''.45
                                 α 123°56'13''.72
                                 历书时角M 232°59'01''.73

  同样的计算得到6时的根数:

α月  124º10'05.55''

δ月  +21º02'48''.27

α123º57'51.90''

δ火  +20º59'01''.69

sinα+0.82739233

sinδ+0.35912944

sinα+0.82938470

sinδ+0.35810402

cosα-0.56162437

cosδ+0.93328776

cosα-0.55867793

cosδ+0.93368170

π3610.85''

R      2.57569534

sinπ0 0.0000426345

sinπ0.01750500

Rsinπ0.04508755

b      0.00094559

 △    57.126535

cosδcosα-0.52162736

cosδsinα火  +0.77438132

sinδ+0.35810402

bcosδcosα-0.00049564

bcosδsinα+0.00073018

bsinδ+0.00033959

gcosdcosα    -0.52113172

gcosdsinα     +0.77365114

gsind         +0.35776443

tanα          -1.48455968

g²             0.99810974

sind          +0.35810305

α           123°57'51''.21

g              0.99905442

cosd          +0.93368207

α-α       0°12'14''.34

sin(α-α)     +0.00356017

cos(α-α)    +0.99999366

cosδ×

sinδcosd    +0.33531272

sinδsind     +0.12860535

sin(α-α)    +0.00332266

-cosδsind×

cosδcosd×

cos(α-α)     -0.33421107

cos(α-α)    +0.87138852

 X           +0.18981222

和             +0.00110165

和            0.99999387

gR          2.57325981

Y             +0.06293345

Z             57.12618481

k            0.272488

sinf1         0.000013332

sinf2         0.000004303

z            57.12618

kcscf1        20438.64386

kcscf2        63325.12201

C1           20495.77004

C2          -63267.99583

tαnf1        0.000013332

tanf2        0.000004303

L1            0.273249606

L2            -0.272242186

2019年7月4日6时 历书恒星时 11°57'43''.34
                                 α 123°57'51''.21
                                 历书时角M 247°59'52''.13

2019年7月4日力学时5~6时的贝塞尔根数:
   x         Y       M       D       L1      L2       tanf1         tanf2
-0.38952 +0.13891 232.984 +20.990 0.27325 -0.27224 0.000013333 0.000004303
   x         Y      M        D      L1       L2       tanf1         tanf2
+0.18981 +0.06293 247.998 +20.984 0.27325 -0.27224 0.000013332 0.000004303
由此求得各项每时变量
   x'        Y'      M'      D'      L1'       L2'     tanF1'  tanF2'
0.57933 -0.07598 15.0140 -0.0058 -0.00000 -0.00000 0.00000 0.00000
而后据此推导本次掩星的见掩情况(T0=力学时6时)。
  由下式推算距T0=6时的其他时刻贝塞尔根数:
X=X0+X't  Y=Y0+Y't  M=M0+M't  D=D0+D't  L1=L10+L1't  L2=L20+L2't

三、本影的中心计算
T=6时

ω=       1.002931

cosφ1sinH=x=         +0.18981

P=       0.262044

cosφ1cosH=Bb2-y1b1  +0.89175

b=       -0.09379

sinφ1=Bb1+y1b2       +0.41079

c=        0.58524

tanφ=1.0033641tanφ1 +24º19'36.03''

y1=       0.06311

λ=M-H-1.002738△T  +124º18'30.69''

b1=       0.35915

L2'=L2-Btanf2        -0.27224

b2=       0.93328

α=                    0.34552

B=        0.97979

n=                    0.35802

7200L2'/n=5474.9

sinh=                 78.4º

k=        0.99387

12756L2'/k            3494.1 km

说明:本影中心线力学时6时或北京时间13:58:50.5时所见的掩星现象;这时月亮本影中心线已到达东经124º18'31'',北纬24º19'36'',火星被月亮遮掩达5475秒或1小时31分14.9秒,这时的火星和月亮在当地的地平高度在78.4º左右,南北宽度达3494.1公里。

四、求月掩星的两相时刻

1.接触时刻的第一次近似
先用T0=6时来求掩甚的时刻(用角秒表示)
x +683''    x'+2086''  n² 443×10^4  xx'+yy' 136×10^4  t  -0h.3076
y +227''  y'-274''   n 2104''       xy'-x'y 29×10^4  w 136''
掩甚时刻的力学时=T0+t=6h-0h.3076=5h.6924=5h41.5m
S月=983.87'',S火=1.82'',π火=3.41'',π月=3610.85'',π1=3604.86,f1=3610.09,f2=3606.45,L1=4593.96'',L2=4590.32''

外切

内切

L

4594''

4590

L²-W²

2109×10^4

2105×10^4

L²-W²½

4592

4588

L²-W²½/n

2h.1825

2h.1806

 始

3h.5099=3h31m

3h.5118=3h31m

 终

7h.8749=7h52m

7h.8730=7h52m

2.接触时刻的第二次近似
用第一次近似所得的值为引数,从贝塞尔根数内插得x、y、L1、L2,而x'y'是从x,y的差数求得,计算过程如下:(已化为角秒),计算过程如下:

外切

 内切

T0

 3h.5099

 7h.8749

 3h.5118

 7h.8730

x

-4510.00

+4593.6

-4506.0

+4589.6

y

+907.7

-286.3

+907.1

-285.8

x'

+2085.6

+2085.6

+2085.6

+2085.6

y'

-273.5

-273.5

-273.5

-273.5

n²/100

44245

44245

44245

44245

n

2103.5

2103.5

2103.5

2103.5

(xy'-x'y)/100

-6596

-6592

-6595

-6592

(xx'+yy')/100

-96543

96587

-96458

96502

W

313''.6

313.4

313.5

313.4

L

4592.1

4595.2

4588.5

4591.6

(L²-W²)/100

209890

210176

209561

209846

(L²-W²)½

4581.4

4584.5

4577.8

4580.9

(xx'+yy')/n²

-2h.1820

+2h.1830

-2h.1801

+2h.1811

±(L²-W²)½/n

-2h.1780

+2h.1795

-2h.1763

+2h.1778

t

+0.0040

-0.0035

+0.0038

-0.0033

T0+t

3:30:50.0

7:52:17.0

3:30:56.2

7:52:10.9

3.求本次月掩火星掩甚时刻:
n²=x'²+y'²=0.341396209
τ=-(X0X'+Y0Y')/n²=-0.308091312+6=5.691908688h=5:41:30.87(力学时)

4.求地面最先看到和最后看到的掩始、掩终历书经度和纬度

3h.5156

7h.8697

1X

-1.24948

+1.27298

y

+0.25169

-0.07913

y1

0.25243

-0.07936

sind1

0.35939

+0.35898

cosd1

0.93318

+0.93334

2-y1sind1

-0.09072

+0.02849

3+y1cosd1

0.23556

-0.07407

tanH

+13.77293

44.68164

H

265º50'50''

88º43'04''

M

210º41'50''

276º04'11''

λ*

-55º09'00''

-172º38'53''

cscH

-1.002632

+1.00025

tanφ1

+0.18803

-0.05817

tanφ

+0.18866

-0.05837

φ

+10º41'03''

-3º20'26''

五、求本次掩甚的地点

5.求掩甚时的历书经度和纬度。
X=0.01132 Y1=0.08659  sind1=0.35919 cosd1=0.93326
(1) X=              +0.01132
(2)-Y1sind1=        -0.03110
(3)+ζ1cosd1=       +0.92969
(4)+η1cosd1=       +0.08081
(5)+ζ1sind1=        +0.35782
(1)÷〔(2)+(3)〕=tanH +0.01260
                 H  0º43'18''
                 M 243º22'20''
                 λ* -117º20'58''
(4)+(5)sinφ1         +0.43863
       tanφ1       +0.48809
       tanφ        +0.48973
         φ       +26º05'33'

六、地方视午的掩星

火星与月亮赤经相合时候的力学时为2019年7月4日5时40分20.5秒
X=ξ=0                    y=0.08782       sind1=0.35919
P1=         0.99708    y1=η1=0.08808    cosd1=0.93326
ζ1²=1-ξ²-η1² 0.99346    ζ1=0.99672

tanH=ξ/-η1sind+ζ1cosd=0   (1-e²)-½                 1.0033641
H=0º00'00''                 sinφ1=+η1cosd1+ζ1sind1   0.44021
M=243º04'43''               tanφ1                     0.49027
λ*=-116º55'17''              tanφ                      0.49192
λ=+117º12'42''                 φ                     26º11'37''

归纳以上结果,得到本次月掩火星概况:

月掩火星概况
                                见掩地点
                     北京时       地理纬度      地理经度
掩始外切 7月4日 11h29m41s  
掩始内切        11h29m47s   +10°41.1′   +55°26.4′
地方视午的掩星  13h39m11s   +26°11.6′  +117°12.7′
掩       甚       13h40m21s   +26°05.5'    +117°38.4'
掩终内切       15h51m01s   -03°20.6'      +172°56.3'
掩终外切       15h51m08s  

七、求地方见掩时刻

  计算2019年7月4日上海见月掩火星情况:
上海:东8h05m50.39s,北纬31.23°,地心坐标演算如下:tanμ=0.604304
ρsinφ'=0.515468 ρcosφ'=0.855864

解:先以T0=6h的贝塞尔根数进行第一次近似计算
cosd=0.93368  sind=0.35811
sinH=0.15932  cosH=0.98723
ξ=+0.13636  η=0.17870  L2'=-0.27224
ζ=0.97349  n²=0.135989  n=0.368766  ξ'=0.22141  п'=0.01280  υ=0.05345  v=-0.11577  u'=0.35792  v'=-0.08878  sinψ=-0.365475  cosψ=±0.930821
τm=-0.216h
τ=±0.687h
掩始t=0-0.216-0.687=-0.903h
掩甚t=0-0.216      =-0.216h
复现t=0-0.216+0.687=0.471h
以第一次所得近似值为引数求该时刻的X,Y,d,L2,,M,进行第二次近似计算:

      

      X

掩 始(-0.903

 -0.33332

掩 甚(-0.216

 +0.06467

复 现(0.471

 0.46267

      Y

 0.13154

 0.07934

 0.02714

    sind

 0.35819

 0.35813

 0.35806

    cosd

 0.93365

 0.93367

 0.93370

     M

 234.440

 244.755

 255.070

    sinH

    cosH

 -0.07655

 0.99707

 0.10322

 0.99466

 0.27966

 0.96010

     ξ

 -0.06552

 0.08834

 0.23935

     η

 0.17560

 0.17640

 0.18707

     ζ

 0.98137

 0.97943

 0.95180

     ξ'

 0.22362

 0.22308

 0.21533

     η'

 -0.00615

 0.00829

 0.02246

     L'

 -0.27224

 -0.27224

 -0.27224

     μ

 -0.26780

 -0.02367

 0.22332

     v

 -0.04406

 -0.09706

 -0.15993

     μ'

 0.35571

 0.35625

 0.36400

     v'

 -0.06983

 -0.08427

 -0.09844

     n²

 0.131406

 0.134015

 0.142186

     n

 0.362499

 0.366081

 0.377076

    sinψ

 -0.3483

 -0.3670

 -0.3529

   cosψ

 0.937381

 0.930235

 0.935647

τ

 -0h.70398

 ――――

+0h.675515

    τm

 +0h.70151

 +0h.00189

-0h.682430

即掩始:-0h.903-0h.70398+0h.70151=-0h.09547+T0=5h.09453=05:05:40(力学时)
掩甚:-0h.216+0h.00189=-0h.21411+T0=5h.78589=05:47:09(力学时)
复现:0h.471+0.675515-0.682430=0h.464085+T0=06:27:51(力学时)

化为北京时间得到(上海见月掩火星情况)
   掩 始 13:04:31
   掩 甚 13:46:00
   复 现 14:26:41
如果要求精度更高,可以将数据代入再算一次,直到τm±τ近似于0。

求方位角:tan P=u/v
掩始:P=80.7°
复现:P=305.6°
  有时行星或卫星也能掩着明亮的恒星,这些现象的观测可能对于行星或卫星的直径与其大气,提供有趣的资料。这种掩星理论,容易据月掩星的理论去推阐的。

  说明:本文根据VSOP87/ELP2000-82历表结合掩星理论综合计算得出的,算法是以合时前后的两个根数去推算一切未知数,并未实际计算3时、4时、7时、8时的贝塞尔根数(读者如果有时间可以自己去推算其他时刻的贝塞尔根数),因此有几秒钟的误差,但不会影响精度和观测的。

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