资料整理:高良超
月掩星的计算与日食的计算有其类似之点,也有相异之处。由于星是点光源,故无半影,而本影所占的空间是与月球外切、半径为k的旋转圆柱。这里的贝塞尔的方法还是可用,但应加以很大的简化。
月掩星的两相是“掩始”,即星消失在月面的边沿处和“复现”,即星再从月面的边沿出来。
取在地心与星的方向正交的平面与基本面。坐标三面形的规定与日食的计算里相同:X轴是基本面与地赤道的交线,Z轴指向星,y轴与北极的方向成一锐角,而且这三面形是顺向的。设△表示月亮的地心距,α,δ与α'δ'分别表示月亮与星的地心赤道坐标,则月心的直角坐标可以表为
x=△cosδ月sin(α月-α')
y=△〔sinδ月cosd-cosδ月sindcos(α月-α')〕
z=△〔sinδ月sind+cosδ月cosdcos(α月-α')〕
这里长度的单位为地球的赤道半径。设π'表示月亮的视差,则
△=cosecπ'
Z点的赤经α,通常用Z点的历书时角M来代替,即
M=历书恒星时-α星
s'、π'分别是星在距离地球平均天文单位处的视半径和地平视差,这里即将求的是月掩火星情况,令火星视半径s'=4.68'',π'=8.794'',而k=0.272488,因此:
sinS'=0.0000226893
sinπ'=0.0000426345
ksinπ'=0.00001161739
可得sinf1=0.00003430669/gR
sinf2=0.00001107191/gR
gR为火星与月亮的距离
C1=Z+kcscf1
C2=Z-kcscf2
L1=C1tanf1
L2=C2tanf2
算例:计算2019年7月4日 月掩火星情况
一、求火星与月亮赤经相合时的力学时
从星历表中查出与α月-α火=0的相近的数据前后共四个如下:
7月4日
力学时 α火 α月 α月-α火 △' △''
04时 123º54'32.70'' 122º52'04.95'' -1º02'27''.75
05时 123º56'12.30'' 123º31'06.15'' -0º25'06''.15 +37'21''.60
06时 123º57'51.90'' 124º10'05.55'' +0º12'13''.65 +37'19''.80 -1''.80
07时 123º59'31.50'' 124º49'03.00'' +0º49'31.50'' +37'17''.85 -1.95
-f0=+25'06''.15=+1506''.15
△'½=37'19''.80=+2239''.8
△''0+△''1=-3''.75
B2=n(n-1)/4
B2 |
-B2(△''0+△''1) |
F |
n |
|
第一近似 |
0 |
0 |
1506.15 |
0.672448 |
第二近似 |
-0.055065 |
-0.21 |
1505.94 |
0.672355 |
第三近似 |
-0.055073 |
-0.21 |
1505.94 |
0.672355 |
0.672355是时的小数,化为分秒后得40分20.478秒,因而所求火星与月亮赤经相合的时刻为:2019年7月4日5时40分20.478秒(力学时)。
现在以所算出月亮与火星赤经相合的时刻:7月4日5h40m20.5s为引数,从历表查出该时刻火星与月亮的赤纬差值是:
-316.9"=-0.08803º,肯定有中心掩发生。
如果要计算这次月掩火星,必先求力学时7月4日3时~8时的月亮、火星要素。
现将各小时的火星、月亮要素分别列成表 1.1和表 1.2
表1.1月亮要素表
力学时 |
α |
δ |
π |
03时 |
122º13'01.80'' |
+ 21°17'02.63" |
3609.09'' |
04时 |
122º52'04.95'' |
+21°12'26.88" |
3609.70 |
05时 |
123º31'06.15'' |
+21°07'42.08" |
3610.29 |
06时 |
124º10'05.55'' |
+21°02'48.27" |
3610.85 |
07时 |
124º49'03.00 |
+20°57'45.50" |
3611.39 |
08时 |
125º27'58.35'' |
+20°52'33.82" |
3611.90 |
表1.2火星要素表
力学时 |
α |
δ |
R |
恒星时 |
03时 |
123º52'53.10'' |
+21°00'05.30" |
2.57525505 |
326º50'19.80'' |
04时 |
123º54'32.70 |
+20°59'44.11" |
2.57540192 |
341º52'47.55'' |
05时 |
123º56'12.30'' |
+20°59'22.91" |
2.57554868 |
356º55'15.45'' |
06时 |
123º57'51.90'' |
+20°59'01.69" |
2.57569534 |
11º57'43.34'' |
07时 |
123º59'31.50'' |
+20°58'40.45" |
2.57584190 |
27º00'11.10'' |
08时 |
124º01'11.10'' |
+20°58'19.20" |
2.57598835 |
42º02'39.00'' |
二、贝塞尔根数计算
力学时7月4日5时
α月 123º31'06.15'' |
δ月 +21º07'42''.08 |
α火 123º56'12.30'' |
δ火 +20º59'22''.91 |
sinα月 +0.83370877 |
sinδ月 +0.36045848 |
sinα火+0.82965437 |
sinδ火 +0.35820007 |
cosα月-0.55220439 |
cosδ月 +0.93277526 |
cosα火-0.55827737 |
cosδ火+0.93364485 |
π月 3610.29'' |
R 2.57554868 |
sinπ0 0.0000426345 |
|
sinπ月 0.01750229 |
Rsinπ月0.045078 |
b 0.00094579 |
△ 57.135381 |
cosδ火cosα火 -0.52123279 |
cosδ火sinα火 +0.77460253 |
sinδ火 +0.35820007 |
bcosδ月cosα月-0.00048716 |
bcosδ月sinα月 +0.00073551 |
bsinδ月 +0.00034092 |
gcosdcosα -0.52074563 |
gcosdsinα +0.77386702 |
gsind +0.35785915 |
tanα -1.48607492 |
g² 0.99810935 |
sind +0.35819792 |
α 123°56'13''.72 |
g 0.99905423 |
cosd +0.93364568 |
α月-α 359°34'52''.43 |
sin(α月-α) -0.00730884 |
cos(α月-α) +0.99997329 |
cosδ月× |
sinδ月cosd +0.33654050 |
sinδ月sind +0.12911548 |
sin(α月-α) -0.00681751 |
-cosδ月sind× |
cosδ月cosd× |
cos(α月-α) -0.33410923 |
cos(α月-α) +0.87085833 |
|
X -0.389521031 |
和 +0.00243127 |
和 0.99997381 |
gR 2.57311280 |
Y +0.138911538 |
Z 57.13388462 |
k 0.272488 |
sinf1 0.000013333 |
sinf2 0.000004303 |
z 57.13388 |
kcscf1 20437.11093 |
kcscf2 63325.12201 |
C1 20494.24481 |
C2 -63267.98813 |
|
tαnf1 0.000013333 |
tanf2 0.000004303 |
|
L1 0.273249766 |
L2 -0.272242153 |
2019年7月4日5时 历书恒星时 356°55'15''.45
α 123°56'13''.72
历书时角M 232°59'01''.73
同样的计算得到6时的根数:
α月 124º10'05.55'' |
δ月 +21º02'48''.27 |
α火 123º57'51.90'' |
δ火 +20º59'01''.69 |
sinα月 +0.82739233 |
sinδ月 +0.35912944 |
sinα火+0.82938470 |
sinδ火 +0.35810402 |
cosα月-0.56162437 |
cosδ月 +0.93328776 |
cosα火-0.55867793 |
cosδ火+0.93368170 |
π月 3610.85'' |
R 2.57569534 |
sinπ0 0.0000426345 |
|
sinπ月 0.01750500 |
Rsinπ月0.04508755 |
b 0.00094559 |
△ 57.126535 |
cosδ火cosα火 -0.52162736 |
cosδ火sinα火 +0.77438132 |
sinδ火 +0.35810402 |
bcosδ月cosα月-0.00049564 |
bcosδ月sinα月 +0.00073018 |
bsinδ月 +0.00033959 |
gcosdcosα -0.52113172 |
gcosdsinα +0.77365114 |
gsind +0.35776443 |
tanα -1.48455968 |
g² 0.99810974 |
sind +0.35810305 |
α 123°57'51''.21 |
g 0.99905442 |
cosd +0.93368207 |
α月-α 0°12'14''.34 |
sin(α月-α) +0.00356017 |
cos(α月-α) +0.99999366 |
cosδ月× |
sinδ月cosd +0.33531272 |
sinδ月sind +0.12860535 |
sin(α月-α) +0.00332266 |
-cosδ月sind× |
cosδ月cosd× |
cos(α月-α) -0.33421107 |
cos(α月-α) +0.87138852 |
|
X +0.18981222 |
和 +0.00110165 |
和 0.99999387 |
gR 2.57325981 |
Y +0.06293345 |
Z 57.12618481 |
k 0.272488 |
sinf1 0.000013332 |
sinf2 0.000004303 |
z 57.12618 |
kcscf1 20438.64386 |
kcscf2 63325.12201 |
C1 20495.77004 |
C2 -63267.99583 |
|
tαnf1 0.000013332 |
tanf2 0.000004303 |
|
L1 0.273249606 |
L2 -0.272242186 |
2019年7月4日6时 历书恒星时 11°57'43''.34
α 123°57'51''.21
历书时角M 247°59'52''.13
2019年7月4日力学时5~6时的贝塞尔根数:
x Y M D L1 L2 tanf1 tanf2
-0.38952 +0.13891 232.984 +20.990 0.27325 -0.27224 0.000013333 0.000004303
x Y M D L1 L2 tanf1 tanf2
+0.18981 +0.06293 247.998 +20.984 0.27325 -0.27224 0.000013332 0.000004303
由此求得各项每时变量
x' Y' M' D' L1' L2' tanF1' tanF2'
0.57933 -0.07598 15.0140 -0.0058 -0.00000 -0.00000 0.00000 0.00000
而后据此推导本次掩星的见掩情况(T0=力学时6时)。
由下式推算距T0=6时的其他时刻贝塞尔根数:
X=X0+X't Y=Y0+Y't M=M0+M't D=D0+D't L1=L10+L1't L2=L20+L2't
三、本影的中心计算
T=6时
ω= 1.002931 |
cosφ1sinH=x= +0.18981 |
P= 0.262044 |
cosφ1cosH=Bb2-y1b1 +0.89175 |
b= -0.09379 |
sinφ1=Bb1+y1b2 +0.41079 |
c= 0.58524 |
tanφ=1.0033641tanφ1 +24º19'36.03'' |
y1= 0.06311 |
λ=M-H-1.002738△T +124º18'30.69'' |
b1= 0.35915 |
L2'=L2-Btanf2 -0.27224 |
b2= 0.93328 |
α= 0.34552 |
B= 0.97979 |
n= 0.35802 |
7200L2'/n=5474.9秒 |
sinh= 78.4º |
k= 0.99387 |
12756L2'/k 3494.1 km |
说明:本影中心线力学时6时或北京时间13:58:50.5时所见的掩星现象;这时月亮本影中心线已到达东经124º18'31'',北纬24º19'36'',火星被月亮遮掩达5475秒或1小时31分14.9秒,这时的火星和月亮在当地的地平高度在78.4º左右,南北宽度达3494.1公里。
四、求月掩星的两相时刻
1.接触时刻的第一次近似
先用T0=6时来求掩甚的时刻(用角秒表示)
x +683'' x'+2086'' n² 443×10^4 xx'+yy' 136×10^4 t -0h.3076
y +227'' y'-274'' n 2104'' xy'-x'y 29×10^4 w 136''
掩甚时刻的力学时=T0+t=6h-0h.3076=5h.6924=5h41.5m
S月=983.87'',S火=1.82'',π火=3.41'',π月=3610.85'',π1=3604.86,f1=3610.09,f2=3606.45,L1=4593.96'',L2=4590.32''
外切 |
内切 |
|
L |
4594'' |
4590 |
L²-W² |
2109×10^4 |
2105×10^4 |
(L²-W²)½ |
4592 |
4588 |
(L²-W²)½/n |
2h.1825 |
2h.1806 |
始 |
3h.5099=3h31m |
3h.5118=3h31m |
终 |
7h.8749=7h52m |
7h.8730=7h52m |
2.接触时刻的第二次近似
用第一次近似所得的值为引数,从贝塞尔根数内插得x、y、L1、L2,而x'y'是从x,y的差数求得,计算过程如下:(已化为角秒),计算过程如下:
外切 |
内切 |
|||
始 |
终 |
始 |
终 |
|
T0 |
3h.5099 |
7h.8749 |
3h.5118 |
7h.8730 |
x |
-4510.00 |
+4593.6 |
-4506.0 |
+4589.6 |
y |
+907.7 |
-286.3 |
+907.1 |
-285.8 |
x' |
+2085.6 |
+2085.6 |
+2085.6 |
+2085.6 |
y' |
-273.5 |
-273.5 |
-273.5 |
-273.5 |
n²/100 |
44245 |
44245 |
44245 |
44245 |
n |
2103.5 |
2103.5 |
2103.5 |
2103.5 |
(xy'-x'y)/100 |
-6596 |
-6592 |
-6595 |
-6592 |
(xx'+yy')/100 |
-96543 |
96587 |
-96458 |
96502 |
W |
313''.6 |
313.4 |
313.5 |
313.4 |
L |
4592.1 |
4595.2 |
4588.5 |
4591.6 |
(L²-W²)/100 |
209890 |
210176 |
209561 |
209846 |
(L²-W²)½ |
4581.4 |
4584.5 |
4577.8 |
4580.9 |
(xx'+yy')/n² |
-2h.1820 |
+2h.1830 |
-2h.1801 |
+2h.1811 |
±(L²-W²)½/n |
-2h.1780 |
+2h.1795 |
-2h.1763 |
+2h.1778 |
t |
+0.0040 |
-0.0035 |
+0.0038 |
-0.0033 |
T0+t |
3:30:50.0 |
7:52:17.0 |
3:30:56.2 |
7:52:10.9 |
3.求本次月掩火星掩甚时刻:
n²=x'²+y'²=0.341396209
τ=-(X0X'+Y0Y')/n²=-0.308091312+6=5.691908688h=5:41:30.87(力学时)
4.求地面最先看到和最后看到的掩始、掩终历书经度和纬度
3h.5156 |
7h.8697 |
|
(1)X |
-1.24948 |
+1.27298 |
y |
+0.25169 |
-0.07913 |
y1 |
0.25243 |
-0.07936 |
sind1 |
0.35939 |
+0.35898 |
cosd1 |
0.93318 |
+0.93334 |
(2)-y1sind1 |
-0.09072 |
+0.02849 |
(3)+y1cosd1 |
0.23556 |
-0.07407 |
tanH |
+13.77293 |
44.68164 |
H |
265º50'50'' |
88º43'04'' |
M |
210º41'50'' |
276º04'11'' |
λ* |
-55º09'00'' |
-172º38'53'' |
cscH |
-1.002632 |
+1.00025 |
tanφ1 |
+0.18803 |
-0.05817 |
tanφ |
+0.18866 |
-0.05837 |
φ |
+10º41'03'' |
-3º20'26'' |
五、求本次掩甚的地点
5.求掩甚时的历书经度和纬度。
X=0.01132 Y1=0.08659 sind1=0.35919 cosd1=0.93326
(1) X= +0.01132
(2)-Y1sind1= -0.03110
(3)+ζ1cosd1= +0.92969
(4)+η1cosd1= +0.08081
(5)+ζ1sind1= +0.35782
(1)÷〔(2)+(3)〕=tanH +0.01260
H 0º43'18''
M 243º22'20''
λ* -117º20'58''
(4)+(5)sinφ1 +0.43863
tanφ1 +0.48809
tanφ +0.48973
φ +26º05'33'
六、地方视午的掩星
火星与月亮赤经相合时候的力学时为2019年7月4日5时40分20.5秒
X=ξ=0 y=0.08782 sind1=0.35919
P1= 0.99708 y1=η1=0.08808 cosd1=0.93326
ζ1²=1-ξ²-η1² 0.99346 ζ1=0.99672
tanH=ξ/-η1sind+ζ1cosd=0 (1-e²)-½ 1.0033641
H=0º00'00'' sinφ1=+η1cosd1+ζ1sind1 0.44021
M=243º04'43'' tanφ1 0.49027
λ*=-116º55'17'' tanφ 0.49192
λ=+117º12'42'' φ 26º11'37''
归纳以上结果,得到本次月掩火星概况:
月掩火星概况
见掩地点
北京时 地理纬度 地理经度
掩始外切 7月4日 11h29m41s
掩始内切 11h29m47s +10°41.1′ +55°26.4′
地方视午的掩星 13h39m11s +26°11.6′ +117°12.7′
掩 甚 13h40m21s +26°05.5' +117°38.4'
掩终内切 15h51m01s -03°20.6' +172°56.3'
掩终外切 15h51m08s
七、求地方见掩时刻
计算2019年7月4日上海见月掩火星情况:
上海:东8h05m50.39s,北纬31.23°,地心坐标演算如下:tanμ=0.604304
ρsinφ'=0.515468 ρcosφ'=0.855864
解:先以T0=6h的贝塞尔根数进行第一次近似计算
cosd=0.93368 sind=0.35811
sinH=0.15932 cosH=0.98723
ξ=+0.13636 η=0.17870 L2'=-0.27224
ζ=0.97349 n²=0.135989 n=0.368766 ξ'=0.22141 п'=0.01280 υ=0.05345 v=-0.11577 u'=0.35792 v'=-0.08878 sinψ=-0.365475 cosψ=±0.930821
τm=-0.216h
τ=±0.687h
掩始t=0-0.216-0.687=-0.903h
掩甚t=0-0.216 =-0.216h
复现t=0-0.216+0.687=0.471h
以第一次所得近似值为引数求该时刻的X,Y,d,L2,,M,进行第二次近似计算:
X |
掩 始(-0.903) -0.33332 |
掩 甚(-0.216) +0.06467 |
复 现(0.471) 0.46267 |
Y |
0.13154 |
0.07934 |
0.02714 |
sind |
0.35819 |
0.35813 |
0.35806 |
cosd |
0.93365 |
0.93367 |
0.93370 |
M |
234.440 |
244.755 |
255.070 |
sinH cosH |
-0.07655 0.99707 |
0.10322 0.99466 |
0.27966 0.96010 |
ξ |
-0.06552 |
0.08834 |
0.23935 |
η |
0.17560 |
0.17640 |
0.18707 |
ζ |
0.98137 |
0.97943 |
0.95180 |
ξ' |
0.22362 |
0.22308 |
0.21533 |
η' |
-0.00615 |
0.00829 |
0.02246 |
L' |
-0.27224 |
-0.27224 |
-0.27224 |
μ |
-0.26780 |
-0.02367 |
0.22332 |
v |
-0.04406 |
-0.09706 |
-0.15993 |
μ' |
0.35571 |
0.35625 |
0.36400 |
v' |
-0.06983 |
-0.08427 |
-0.09844 |
n² |
0.131406 |
0.134015 |
0.142186 |
n |
0.362499 |
0.366081 |
0.377076 |
sinψ |
-0.3483 |
-0.3670 |
-0.3529 |
cosψ |
0.937381 |
0.930235 |
0.935647 |
τ |
-0h.70398 |
―――― |
+0h.675515 |
τm |
+0h.70151 |
+0h.00189 |
-0h.682430 |
即掩始:-0h.903-0h.70398+0h.70151=-0h.09547+T0=5h.09453=05:05:40(力学时)
掩甚:-0h.216+0h.00189=-0h.21411+T0=5h.78589=05:47:09(力学时)
复现:0h.471+0.675515-0.682430=0h.464085+T0=06:27:51(力学时)
化为北京时间得到(上海见月掩火星情况)
掩 始 13:04:31
掩 甚 13:46:00
复 现 14:26:41
如果要求精度更高,可以将数据代入再算一次,直到τm±τ近似于0。
求方位角:tan P=u/v
掩始:P=80.7°
复现:P=305.6°
有时行星或卫星也能掩着明亮的恒星,这些现象的观测可能对于行星或卫星的直径与其大气,提供有趣的资料。这种掩星理论,容易据月掩星的理论去推阐的。
说明:本文根据VSOP87/ELP2000-82历表结合掩星理论综合计算得出的,算法是以合时前后的两个根数去推算一切未知数,并未实际计算3时、4时、7时、8时的贝塞尔根数(读者如果有时间可以自己去推算其他时刻的贝塞尔根数),因此有几秒钟的误差,但不会影响精度和观测的。