资料整理：高良超
月掩星的计算与日食的计算有其类似之点，也有相异之处。由于星是点光源，故无半影，而本影所占的空间是与月球外切、半径为k的旋转圆柱。这里的贝塞尔的方法还是可用，但应加以很大的简化。
月掩星的两相是“掩始”，即星消失在月面的边沿处和“复现”，即星再从月面的边沿出来。
取在地心与星的方向正交的平面与基本面。坐标三面形的规定与日食的计算里相同：X轴是基本面与地赤道的交线，Z轴指向星，y轴与北极的方向成一锐角，而且这三面形是顺向的。设△表示月亮的地心距，α，δ与α'δ'分别表示月亮与星的地心赤道坐标，则月心的直角坐标可以表为
x=△cosδ月sin(α月-α')
y=△〔sinδ月cosd-cosδ月sindcos(α月-α')〕
z=△〔sinδ月sind+cosδ月cosdcos(α月-α')〕
这里长度的单位为地球的赤道半径。设π'表示月亮的视差，则
△=cosecπ'
Z点的赤经α，通常用Z点的历书时角M来代替，即
M=历书恒星时-α星
s'、π'分别是星在距离地球平均天文单位处的视半径和地平视差，这里即将求的是月掩火星情况，令火星视半径s'=4.68''，π'=8.794''，而k=0.272488，因此：
sinS'=0.0000226893
sinπ'=0.0000426345
ksinπ'=0.00001161739
可得sinf1=0.00003430669/gR
sinf2=0.00001107191/gR
gR为火星与月亮的距离
C1=Z+kcscf1
C2=Z-kcscf2
L1=C1tanf1
L2=C2tanf2
算例：计算2019年7月4日 月掩火星情况
一、求火星与月亮赤经相合时的力学时
从星历表中查出与α月-α火=0的相近的数据前后共四个如下：
7月4日
力学时 α火 α月 α月-α火 △' △''
04时 123º54'32.70'' 122º52'04.95'' -1º02'27''.75
05时 123º56'12.30'' 123º31'06.15'' -0º25'06''.15 +37'21''.60
06时 123º57'51.90'' 124º10'05.55'' +0º12'13''.65 +37'19''.80 -1''.80
07时 123º59'31.50'' 124º49'03.00'' +0º49'31.50'' +37'17''.85 -1.95
-f0=+25'06''.15=+1506''.15
△'½=37'19''.80=+2239''.8
△''0+△''1=-3''.75
B2=n(n-1)/4
|
B2
|
-B2(△''0+△''1)
|
F
|
n
|
|
第一近似
|
0
|
0
|
1506.15
|
0.672448
|
|
第二近似
|
-0.055065
|
-0.21
|
1505.94
|
0.672355
|
|
第三近似
|
-0.055073
|
-0.21
|
1505.94
|
0.672355
|
0.672355是时的小数，化为分秒后得40分20.478秒，因而所求火星与月亮赤经相合的时刻为：2019年7月4日5时40分20.478秒（力学时）。
现在以所算出月亮与火星赤经相合的时刻：7月4日5h40m20.5s为引数，从历表查出该时刻火星与月亮的赤纬差值是：
-316.9"=-0.08803º，肯定有中心掩发生。
如果要计算这次月掩火星，必先求力学时7月4日3时~8时的月亮、火星要素。
现将各小时的火星、月亮要素分别列成表 1.1和表 1.2
表1.1月亮要素表
|
力学时
|
α
|
δ
|
π
|
|
03时
|
122º13'01.80''
|
+ 21°17'02.63"
|
3609.09''
|
|
04时
|
122º52'04.95''
|
+21°12'26.88"
|
3609.70
|
|
05时
|
123º31'06.15''
|
+21°07'42.08"
|
3610.29
|
|
06时
|
124º10'05.55''
|
+21°02'48.27"
|
3610.85
|
|
07时
|
124º49'03.00
|
+20°57'45.50"
|
3611.39
|
|
08时
|
125º27'58.35''
|
+20°52'33.82"
|
3611.90
|
表1.2火星要素表
|
力学时
|
α
|
δ
|
R
|
恒星时
|
|
03时
|
123º52'53.10''
|
+21°00'05.30"
|
2.57525505
|
326º50'19.80''
|
|
04时
|
123º54'32.70
|
+20°59'44.11"
|
2.57540192
|
341º52'47.55''
|
|
05时
|
123º56'12.30''
|
+20°59'22.91"
|
2.57554868
|
356º55'15.45''
|
|
06时
|
123º57'51.90''
|
+20°59'01.69"
|
2.57569534
|
11º57'43.34''
|
|
07时
|
123º59'31.50''
|
+20°58'40.45"
|
2.57584190
|
27º00'11.10''
|
|
08时
|
124º01'11.10''
|
+20°58'19.20"
|
2.57598835
|
42º02'39.00''
|
二、贝塞尔根数计算
力学时7月4日5时
|
α月 123º31'06.15''
|
δ月 +21º07'42''.08
|
α火 123º56'12.30''
|
δ火 +20º59'22''.91
|
|
sinα月 +0.83370877
|
sinδ月 +0.36045848
|
sinα火+0.82965437
|
sinδ火 +0.35820007
|
|
cosα月-0.55220439
|
cosδ月 +0.93277526
|
cosα火-0.55827737
|
cosδ火+0.93364485
|
|
π月 3610.29''
|
R 2.57554868
|
sinπ0 0.0000426345
|
|
|
sinπ月 0.01750229
|
Rsinπ月0.045078
|
b 0.00094579
|
△ 57.135381
|
|
cosδ火cosα火 -0.52123279
|
cosδ火sinα火 +0.77460253
|
sinδ火 +0.35820007
|
|
bcosδ月cosα月-0.00048716
|
bcosδ月sinα月 +0.00073551
|
bsinδ月 +0.00034092
|
|
gcosdcosα -0.52074563
|
gcosdsinα +0.77386702
|
gsind +0.35785915
|
|
tanα -1.48607492
|
g² 0.99810935
|
sind +0.35819792
|
|
α 123°56'13''.72
|
g 0.99905423
|
cosd +0.93364568
|
|
α月-α 359°34'52''.43
|
sin(α月-α) -0.00730884
|
cos(α月-α) +0.99997329
|
|
cosδ月×
|
sinδ月cosd +0.33654050
|
sinδ月sind +0.12911548
|
|
sin(α月-α) -0.00681751
|
-cosδ月sind×
|
cosδ月cosd×
|
|
cos(α月-α) -0.33410923
|
cos(α月-α) +0.87085833
|
|
X -0.389521031
|
和 +0.00243127
|
和 0.99997381
|
|
gR 2.57311280
|
Y +0.138911538
|
Z 57.13388462
|
|
k 0.272488
|
sinf1 0.000013333
|
sinf2 0.000004303
|
|
z 57.13388
|
kcscf1 20437.11093
|
kcscf2 63325.12201
|
|
C1 20494.24481
|
C2 -63267.98813
|
|
tαnf1 0.000013333
|
tanf2 0.000004303
|
|
L1 0.273249766
|
L2 -0.272242153
|
2019年7月4日5时 历书恒星时 356°55'15''.45
α 123°56'13''.72
历书时角M 232°59'01''.73
同样的计算得到6时的根数：
|
α月 124º10'05.55''
|
δ月 +21º02'48''.27
|
α火 123º57'51.90''
|
δ火 +20º59'01''.69
|
|
sinα月 +0.82739233
|
sinδ月 +0.35912944
|
sinα火+0.82938470
|
sinδ火 +0.35810402
|
|
cosα月-0.56162437
|
cosδ月 +0.93328776
|
cosα火-0.55867793
|
cosδ火+0.93368170
|
|
π月 3610.85''
|
R 2.57569534
|
sinπ0 0.0000426345
|
|
|
sinπ月 0.01750500
|
Rsinπ月0.04508755
|
b 0.00094559
|
△ 57.126535
|
|
cosδ火cosα火 -0.52162736
|
cosδ火sinα火 +0.77438132
|
sinδ火 +0.35810402
|
|
bcosδ月cosα月-0.00049564
|
bcosδ月sinα月 +0.00073018
|
bsinδ月 +0.00033959
|
|
gcosdcosα -0.52113172
|
gcosdsinα +0.77365114
|
gsind +0.35776443
|
|
tanα -1.48455968
|
g² 0.99810974
|
sind +0.35810305
|
|
α 123°57'51''.21
|
g 0.99905442
|
cosd +0.93368207
|
|
α月-α 0°12'14''.34
|
sin(α月-α) +0.00356017
|
cos(α月-α) +0.99999366
|
|
cosδ月×
|
sinδ月cosd +0.33531272
|
sinδ月sind +0.12860535
|
|
sin(α月-α) +0.00332266
|
-cosδ月sind×
|
cosδ月cosd×
|
|
cos(α月-α) -0.33421107
|
cos(α月-α) +0.87138852
|
|
X +0.18981222
|
和 +0.00110165
|
和 0.99999387
|
|
gR 2.57325981
|
Y +0.06293345
|
Z 57.12618481
|
|
k 0.272488
|
sinf1 0.000013332
|
sinf2 0.000004303
|
|
z 57.12618
|
kcscf1 20438.64386
|
kcscf2 63325.12201
|
|
C1 20495.77004
|
C2 -63267.99583
|
|
tαnf1 0.000013332
|
tanf2 0.000004303
|
|
L1 0.273249606
|
L2 -0.272242186
|
2019年7月4日6时 历书恒星时 11°57'43''.34
α 123°57'51''.21
历书时角M 247°59'52''.13
2019年7月4日力学时5~6时的贝塞尔根数：
x Y M D L1 L2 tanf1 tanf2
-0.38952 +0.13891 232.984 +20.990 0.27325 -0.27224 0.000013333 0.000004303
x Y M D L1 L2 tanf1 tanf2
+0.18981 +0.06293 247.998 +20.984 0.27325 -0.27224 0.000013332 0.000004303
由此求得各项每时变量
x' Y' M' D' L1' L2' tanF1' tanF2'
0.57933 -0.07598 15.0140 -0.0058 -0.00000 -0.00000 0.00000 0.00000
而后据此推导本次掩星的见掩情况（T0=力学时6时）。
由下式推算距T0=6时的其他时刻贝塞尔根数：
X=X0+X't Y=Y0+Y't M=M0+M't D=D0+D't L1=L10+L1't L2=L20+L2't
三、本影的中心计算
T=6时
|
ω= 1.002931
|
cosφ1sinH=x= +0.18981
|
|
P= 0.262044
|
cosφ1cosH=Bb2-y1b1 +0.89175
|
|
b= -0.09379
|
sinφ1=Bb1+y1b2 +0.41079
|
|
c= 0.58524
|
tanφ=1.0033641tanφ1 +24º19'36.03''
|
|
y1= 0.06311
|
λ=M-H-1.002738△T +124º18'30.69''
|
|
b1= 0.35915
|
L2'=L2-Btanf2 -0.27224
|
|
b2= 0.93328
|
α= 0.34552
|
|
B= 0.97979
|
n= 0.35802
|
|
7200L2'/n=5474.9秒
|
sinh= 78.4º
|
|
k= 0.99387
|
12756L2'/k 3494.1 km
|
说明：本影中心线力学时6时或北京时间13:58:50.5时所见的掩星现象；这时月亮本影中心线已到达东经124º18'31''，北纬24º19'36''，火星被月亮遮掩达5475秒或1小时31分14.9秒，这时的火星和月亮在当地的地平高度在78.4º左右，南北宽度达3494.1公里。
四、求月掩星的两相时刻
1.接触时刻的第一次近似
先用T0=6时来求掩甚的时刻（用角秒表示）
x +683'' x'+2086'' n² 443×10^4 xx'+yy' 136×10^4 t -0h.3076
y +227'' y'-274'' n 2104'' xy'-x'y 29×10^4 w 136''
掩甚时刻的力学时=T0+t=6h-0h.3076=5h.6924=5h41.5m
S月=983.87''，S火=1.82''，π火=3.41''，π月=3610.85''，π1=3604.86，f1=3610.09，f2=3606.45，L1=4593.96''，L2=4590.32''
|
外切
|
内切
|
|
L
|
4594''
|
4590
|
|
L²-W²
|
2109×10^4
|
2105×10^4
|
|
（L²-W²）½
|
4592
|
4588
|
|
（L²-W²）½/n
|
2h.1825
|
2h.1806
|
|
始
|
3h.5099=3h31m
|
3h.5118=3h31m
|
|
终
|
7h.8749=7h52m
|
7h.8730=7h52m
|
2.接触时刻的第二次近似
用第一次近似所得的值为引数，从贝塞尔根数内插得x、y、L1、L2，而x'y'是从x，y的差数求得，计算过程如下：（已化为角秒），计算过程如下：
|
外切
|
内切
|
|
始
|
终
|
始
|
终
|
|
T0
|
3h.5099
|
7h.8749
|
3h.5118
|
7h.8730
|
|
x
|
-4510.00
|
+4593.6
|
-4506.0
|
+4589.6
|
|
y
|
+907.7
|
-286.3
|
+907.1
|
-285.8
|
|
x'
|
+2085.6
|
+2085.6
|
+2085.6
|
+2085.6
|
|
y'
|
-273.5
|
-273.5
|
-273.5
|
-273.5
|
|
n²/100
|
44245
|
44245
|
44245
|
44245
|
|
n
|
2103.5
|
2103.5
|
2103.5
|
2103.5
|
|
(xy'-x'y)/100
|
-6596
|
-6592
|
-6595
|
-6592
|
|
(xx'+yy')/100
|
-96543
|
96587
|
-96458
|
96502
|
|
W
|
313''.6
|
313.4
|
313.5
|
313.4
|
|
L
|
4592.1
|
4595.2
|
4588.5
|
4591.6
|
|
(L²-W²)/100
|
209890
|
210176
|
209561
|
209846
|
|
(L²-W²)½
|
4581.4
|
4584.5
|
4577.8
|
4580.9
|
|
(xx'+yy')/n²
|
-2h.1820
|
+2h.1830
|
-2h.1801
|
+2h.1811
|
|
±(L²-W²)½/n
|
-2h.1780
|
+2h.1795
|
-2h.1763
|
+2h.1778
|
|
t
|
+0.0040
|
-0.0035
|
+0.0038
|
-0.0033
|
|
T0+t
|
3:30:50.0
|
7:52:17.0
|
3:30:56.2
|
7:52:10.9
|
3.求本次月掩火星掩甚时刻：
n²=x'²+y'²=0.341396209
τ=-(X0X'+Y0Y')/n²=-0.308091312+6=5.691908688h=5:41:30.87（力学时）
4.求地面最先看到和最后看到的掩始、掩终历书经度和纬度
|
3h.5156
|
7h.8697
|
|
（1）X
|
-1.24948
|
+1.27298
|
|
y
|
+0.25169
|
-0.07913
|
|
y1
|
0.25243
|
-0.07936
|
|
sind1
|
0.35939
|
+0.35898
|
|
cosd1
|
0.93318
|
+0.93334
|
|
（2）-y1sind1
|
-0.09072
|
+0.02849
|
|
（3）+y1cosd1
|
0.23556
|
-0.07407
|
|
tanH
|
+13.77293
|
44.68164
|
|
H
|
265º50'50''
|
88º43'04''
|
|
M
|
210º41'50''
|
276º04'11''
|
|
λ*
|
-55º09'00''
|
-172º38'53''
|
|
cscH
|
-1.002632
|
+1.00025
|
|
tanφ1
|
+0.18803
|
-0.05817
|
|
tanφ
|
+0.18866
|
-0.05837
|
|
φ
|
+10º41'03''
|
-3º20'26''
|
五、求本次掩甚的地点
5.求掩甚时的历书经度和纬度。
X=0.01132 Y1=0.08659 sind1=0.35919 cosd1=0.93326
(1) X= +0.01132
(2)-Y1sind1= -0.03110
(3)+ζ1cosd1= +0.92969
(4)+η1cosd1= +0.08081
(5)+ζ1sind1= +0.35782
(1)÷〔(2)+(3)〕=tanH +0.01260
H 0º43'18''
M 243º22'20''
λ* -117º20'58''
(4)+(5)sinφ1 +0.43863
tanφ1 +0.48809
tanφ +0.48973
φ +26º05'33'
六、地方视午的掩星
火星与月亮赤经相合时候的力学时为2019年7月4日5时40分20.5秒
X=ξ=0 y=0.08782 sind1=0.35919
P1= 0.99708 y1=η1=0.08808 cosd1=0.93326
ζ1²=1-ξ²-η1² 0.99346 ζ1=0.99672
tanH=ξ/-η1sind+ζ1cosd=0 （1-e²）-½ 1.0033641
H=0º00'00'' sinφ1=+η1cosd1+ζ1sind1 0.44021
M=243º04'43'' tanφ1 0.49027
λ*=-116º55'17'' tanφ 0.49192
λ=+117º12'42'' φ 26º11'37''
归纳以上结果，得到本次月掩火星概况：
月掩火星概况
见掩地点
北京时 地理纬度 地理经度
掩始外切 7月4日 11h29m41s
掩始内切 11h29m47s +10°41.1′ +55°26.4′
地方视午的掩星 13h39m11s +26°11.6′ +117°12.7′
掩 甚 13h40m21s +26°05.5' +117°38.4'
掩终内切 15h51m01s -03°20.6' +172°56.3'
掩终外切 15h51m08s
七、求地方见掩时刻
计算2019年7月4日上海见月掩火星情况：
上海：东8h05m50.39s，北纬31.23°，地心坐标演算如下：tanμ=0.604304
ρsinφ'=0.515468 ρcosφ'=0.855864
解：先以T0=6h的贝塞尔根数进行第一次近似计算
cosd=0.93368 sind=0.35811
sinH=0.15932 cosH=0.98723
ξ=+0.13636 η=0.17870 L2'=-0.27224
ζ=0.97349 n²=0.135989 n=0.368766 ξ'=0.22141 п'=0.01280 υ=0.05345 v=-0.11577 u'=0.35792 v'=-0.08878 sinψ=-0.365475 cosψ=±0.930821
τm=-0.216h
τ=±0.687h
掩始t=0-0.216-0.687=-0.903h
掩甚t=0-0.216 =-0.216h
复现t=0-0.216+0.687=0.471h
以第一次所得近似值为引数求该时刻的X，Y，d，L2，，M，进行第二次近似计算：
|
X
|
掩 始（-0.903）
-0.33332
|
掩 甚（-0.216）
+0.06467
|
复 现（0.471）
0.46267
|
|
Y
|
0.13154
|
0.07934
|
0.02714
|
|
sind
|
0.35819
|
0.35813
|
0.35806
|
|
cosd
|
0.93365
|
0.93367
|
0.93370
|
|
M
|
234.440
|
244.755
|
255.070
|
|
sinH
cosH
|
-0.07655
0.99707
|
0.10322
0.99466
|
0.27966
0.96010
|
|
ξ
|
-0.06552
|
0.08834
|
0.23935
|
|
η
|
0.17560
|
0.17640
|
0.18707
|
|
ζ
|
0.98137
|
0.97943
|
0.95180
|
|
ξ'
|
0.22362
|
0.22308
|
0.21533
|
|
η'
|
-0.00615
|
0.00829
|
0.02246
|
|
L'
|
-0.27224
|
-0.27224
|
-0.27224
|
|
μ
|
-0.26780
|
-0.02367
|
0.22332
|
|
v
|
-0.04406
|
-0.09706
|
-0.15993
|
|
μ'
|
0.35571
|
0.35625
|
0.36400
|
|
v'
|
-0.06983
|
-0.08427
|
-0.09844
|
|
n²
|
0.131406
|
0.134015
|
0.142186
|
|
n
|
0.362499
|
0.366081
|
0.377076
|
|
sinψ
|
-0.3483
|
-0.3670
|
-0.3529
|
|
cosψ
|
0.937381
|
0.930235
|
0.935647
|
|
τ
|
-0h.70398
|
――――
|
+0h.675515
|
|
τm
|
+0h.70151
|
+0h.00189
|
-0h.682430
|
即掩始：-0h.903-0h.70398+0h.70151=-0h.09547+T0=5h.09453=05:05:40（力学时）
掩甚：-0h.216+0h.00189=-0h.21411+T0=5h.78589=05:47:09（力学时）
复现：0h.471+0.675515-0.682430=0h.464085+T0=06:27:51（力学时）
化为北京时间得到（上海见月掩火星情况）
掩 始 13:04:31
掩 甚 13:46:00
复 现 14:26:41
如果要求精度更高，可以将数据代入再算一次，直到τm±τ近似于0。
求方位角：tan P=u/v
掩始：P=80.7°
复现：P=305.6°
有时行星或卫星也能掩着明亮的恒星，这些现象的观测可能对于行星或卫星的直径与其大气，提供有趣的资料。这种掩星理论，容易据月掩星的理论去推阐的。
说明：本文根据VSOP87/ELP2000-82历表结合掩星理论综合计算得出的，算法是以合时前后的两个根数去推算一切未知数，并未实际计算3时、4时、7时、8时的贝塞尔根数（读者如果有时间可以自己去推算其他时刻的贝塞尔根数），因此有几秒钟的误差，但不会影响精度和观测的。
★★★
