翻译：丛雨
译注：第10和14题的翻译可能会有点怪。

　　美国天文学与天体物理学奥林匹克竞赛（USAAAO，以下简称“美国天文奥赛”）的目标是在全美范围内引起人们对天文学和天体物理学的兴趣。通过资源和选拔测试，举办者们鼓励学术发展，并选择学生代表美国参加国际天文学与天体物理学奥林匹克竞赛（IOAA）。

USAAAO 2022 – First Round
2022年2月5日

选择题（单选）

1. 根据哈勃星系分类法（Hubble galaxies classification），给出以下几个星系的类型：

Figure 1: Galaxy 1

Figure 2: Galaxy 2

Figure 3: Galaxy 3

Figure 4: Galaxy 4

Figure 5: Galaxy 5

(a) Sb，Sc，特殊星系，E2，不规则
(b) Sbc，E4，不规则，Sb，特殊星系
(c) E3，Sbc，Sa，特殊星系，不规则
(d) Sc，Sba，Sbc，E2，特殊星系
(e) Sa，Sbb，E3，不规则，特殊星系

2. 一颗彗星的轨道特征如下：偏心率e =0.995，远日点距r_α =5×10⁴AU。已知太阳的质量M_S =1.98×10³⁰kg，引力常数G =6.67×10^-11N m²/kg²，计算彗星在远日点的速度。
(a) 34.76 m/s
(b) 20.57 m/s
(c) 187.91 m/s
(d) 63.38 m/s
(e) 9.19 m/s

3. 考虑一颗以如下椭圆轨道绕太阳运行的彗星：

以下哪一个式子是彗星从A点到B点所需的时间？其中彗星轨道的周期为T，偏心率为e，轨道方向是逆时针的。

4. 赤道上经度相差30°的两点间的最短距离（沿着地球表面）是多少？纬度都是60°、经度相差30°的两点间的最短距离（沿着地球表面）又是多少？为了简便，假设地球是标准的球体。
(a) 3336 km，1668 km
(b) 3336 km，1654 km
(c) 6672 km，3336 km
(d) 3298 km，1649 km
(e) 3298 km，1668 km

5. 两颗球形小行星Ek和Do自由空间中绕它们的质量中心旋转，Ek有7倍月球质量，Do有1.4倍月球质量。系统的总角动量与小行星Do相对质心的角动量之比是多少？
(a) 26
(b) 6
(c) 1.2
(d) 1.04
(e) 0.1667

6. 考虑一架焦比f/9，焦距f=1.0m的望远镜，工作于波长λ=5000Å的可见光波段。此望远镜能辨别出一个半径R_C =4.1pc的疏散星团的最远距离是多少？
(a) 1.2×10⁶ pc
(b) 1.5×10⁶ pc
(c) 3.0×10⁶ pc
(d) 4.2×10⁶ pc
(e) 5.8×10⁶ pc

7. 想象你在一个遥远的系外行星上观测地球凌日。假设地球轨道的偏心率是0，凌日轨迹穿过太阳直径方向（碰撞参数为0），地球凌日的持续时间是多少？
(a) 3.24 h
(b) 25.93 h
(c) 6.48 h
(d) 1.62 h
(e) 12.97 h

8. 一颗系外行星在一次从恒星表面穿过的凌星事件中被观测到，估算这颗恒星因行星凌日造成的视星等变化Δm。已知在凌星期间，地球上的天文学家观测到恒星投影面积的η =2%被系外行星遮挡。
(a) -4.247
(b) 0.003
(c) 0.022
(d) 0.679
(e) -0.003

9. 估算一个径向速度弥散为σ_r =16.2 km/s的球状星团的质量，该球状星团的角直径θ =3.56′，距离d =9630 pc。
(a) 6.05×10³⁵ kg
(b) 9.71×10³⁵ kg
(c) 1.01×10³⁶ kg
(d) 3.03×10³⁶ kg
(e) 5.96×10³⁶ kg

10. 木星的深层大气具有较高的温度，这是由于对流使绝热状态下的温度随压强增大而增加。做一个简单的假设，木星的外层温度是500 K，粗略估计木星包层的特征厚度（或称e 指数标高）是多少，你会发现它与压强大小无关。你可能会用到木星大气的比气体常数3600 J kg^-1 K^-1。
(a) 20 km
(b) 73 km
(c) 568 km
(d) 3,120 km
(e) 10,233 km

11. 一天文爱好者在观测夜空时拍下了如下照片：

此照片拍摄地的纬度是？
(a) 70° S
(b) 20° S
(c) 2° N
(d) 20° N
(e) 70° N

12. 将以下的太阳演化阶段按从早到晚的顺序排列。
1. 氦闪（Helium flash）
2. 白矮星（White dwarf）
3. 红巨星分支（Red giant branch）
4. 渐近巨星分支（Asymptotic giant branch）
5. 核心氢聚变终止（End of hydrogen fusion in the core）
(a) 5，4，1，3，2
(b) 5，3，1，4，2
(c) 1，5，3，4，2
(d) 5，2，4，1，3
(e) 3，5，1，4，2

13. 一颗行星绕恒星运动的轨道偏心率是0.086，这颗行星与恒星的最近与最远距离之比是多少？
(a) 0.842
(b) 0.188
(c) 1.188
(d) 0.158
(e) 以上都不是

14. 下图（Figure 6）展示了开普勒空间望远镜探测的150,000颗恒星的6小时方均根（rms）组合差分测光精度（CDPP）曲线。CDPP可用于测量光变曲线中的白噪声，因此对于那些6小时CDPP为百万分之100（100 ppm）的目标，一次6小时凌星的深度是否能达到100 ppm被视作1-σ检测。

Figure 6：图片来源于Christiansen et al. (https://arxiv.org/abs/1208.0595)，6小时rms CDPP和Kp星等的数据来自于第3季度（2009年9月18日到12月16日）的所有目标行星。

考虑一个1R_⊙的目标，开普勒星等K_p =13.5，而且就噪声大小而言，它是图（Figure 6）中该星等的最佳目标之一。同时设想具有如下半径的3个独立的系外行星：
I. 0.5R_⊕  
II. 1R_⊕
III. 10R_⊕
使用1-σ检测判断（假设凌日持续6小时），我们可能会因为噪声而无法观测到哪颗或哪些行星凌日？
(a) I
(b) III
(c) I 和 II
(d) II 和 III
(e) I、II 和 II

15. 一颗恒星的质量为M，能量来源于核反应4¹H → ⁴He +能量。p-p链（质子-质子链）的燃烧效率是0.007，这意味着每质量m 会产生0.007mc²的能量。假设可用于核反应的氢的质量是初始质量的一半，并且光度L 在整个燃烧阶段保持恒定，给出恒星氢燃烧阶段寿命的表达式。
(a) 1.625×10¹⁸ s (M / M_⊙)^-2
(b) 3.15×10¹⁴ s (M / M_⊙)^-2
(c) 1.625×10¹⁸ s (M / M_⊙)^-2
(d) 3.15×10¹⁴ s (M / M_⊙)^-2
(e) 以上都不是

16. 2025年，帕克太阳探测器（Parker Solar Probe）将从距离太阳6.9×10⁶km的位置经过，成为史上距太阳最近的人造天体。它将完成五次轨道环绕，每89天接近太阳一次，直到计划的2026年任务结束。帕克太阳探测器在最靠近太阳时能以多快的速度运行？
(a) 38 km/s
(b) 48 km/s
(c) 139 km/s
(d) 190 km/s
(e) 196 km/s

17. 地球上的天文学家观测到一个双星系统的相互掩食现象，并绘制了如下光变曲线。

如果两颗恒星的轨道都是圆形，二者之间距离14.8 AU。双星的总质量是多少？以太阳质量为单位。
(a) 2.3M_⊙
(b) 5.7M_⊙
(c) 6.8M_⊙
(d) 23M_⊙
(e) 46M_⊙

18. 假如上述双星系统中，小恒星比大恒星更亮，那么小恒星与大恒星的半径之比是？
(a) 0.21
(b) 0.76
(c) 0.82
(d) 0.95
(e) 0.98

19. 理论上空间望远镜的分辨率受限于主镜的衍射。此问题需要比较哈勃空间望远镜（HST，主镜口径d = 2.4 m）和詹姆斯·韦布空间望远镜（JWST，d = 6.5 m）的衍射极限，二者的工作波长分别是500 nm 和10 μm。计算角分辨率之比，如果只受限于衍射，哪个望远镜能分辨出更小角度的目标？
(a) 0.014，JWST
(b) 0.14，HST
(c) 1.4，JWST
(d) 14，HST
(e) 140，JWST

20. 冥王星的轨道偏心率是0.25，估算从地球上看，冥王星一次轨道运转期间星等的最大变化。你需要知道冥王星的轨道半长轴比1 AU大得多。
(a) 0.2　(b) 1.2　(c) 2.2　(d) 3.2　(e) 4.2

21. 一颗人造卫星在赤道上空的圆形轨道上，且能朝以下任意方向启动引擎点火加速：
1. 运动方向
2. 运动的反方向
3. 朝向地球，垂直于速度方向（与径向速度相反）
4. 远离地球，垂直于速度方向（与径向速度相同）
5. 朝北天极（垂直于运动和径向速度方向）
考虑每个方向上的微小速度变化，有几种变轨动作会使轨道的近地点降低？
(a) 1　(b) 2　(c) 3　(d) 4　(e) 5

22. 上述五种变轨运动中，将它们变轨后的远地点距离从低到高排列。假设速度变化量相对于轨道速度很小，但不可忽略。
(a) 2 < 3 = 4 = 5 < 1
(b) 2 = 3 < 5 < 4 = 1
(c) 2 < 3 = 4 < 5 < 1
(d) 2 < 5 < 3 = 4 < 1
(e) 2 < 3 < 5 < 4 < 1

23. 一颗系外行星被径向速度法发现，以2.45天的轨道周期绕一颗类太阳恒星运行。如果此行星的反照率是0（吸收所有入射光）且表面完美导热，估算行星的温度。
(a) 395 K
(b) 954 K
(c) 1231 K
(d) 1476 K
(e) 2071 K

24. 天津四（α Cyg）是北半天球的一颗重要的恒星，是夏季大三角的其中之一，也是天鹅座的最亮星。已知以下数据，计算天津四和辇道增七（β Cyg）之间的距离。

(a) 569 pc
(b) 102 pc
(c) 432 pc
(d) 317 pc
(e) 459 pc

25. 假设秋分这一天你在休斯顿（29°46′N，95°23′W）观测到天津四上中天，结合24题表中的数据，此时太阳的时角是？
(a) 8h 41m
(b) 20h 41m
(c) 12h 00m
(d) 14h 19m
(e) 18h 22m

26. 已知下图拍摄于11:59pm，判断当天太阳正从哪个星座前方穿过。

(a) 天蝎座（Scorpius）
(b) 室女座（Virgo）
(c) 北斗（Big Dipper）
(d) 巨蟹座（Cancer）
(e) 金牛座（Taurus）

27. 一位天文学家在大雾天观测一个星系，它的图像信噪比约为1，成像时间约5秒。如果想要信噪比达到10，她需要总共观测该星系多久？
(a) 15秒
(b) 20秒
(c) 25秒
(d) 50秒
(e) 500秒

28. 天枢（赤纬δ=61.75°）是大熊座的一颗恒星，在旧金山（纬度λ=37.7°N）观测，它是否是拱极星？在迈阿密观测（纬度λ=25.8°N）呢？
(a) 是，是
(b) 是，否
(c) 否，是
(d) 否，否
(e) 需要更多信息

29. 一天文学家得到了一个星系的光谱，发现Hα发射线的波长是721.9纳米，而地球实验室中同一发射线的波长是656.3纳米。估算这个星系的（固有）距离是多少？
(a) 66 Mpc
(b) 430 Mpc
(c) 480 Mpc
(d) 3900 Mpc
(e) 4700 Mpc

30. 在旧金山（37.7°N，122.4°W）一年之中最长的白昼和最短的白昼的时间差多少？忽略大气折射。
(a) 2h 30m
(b) 3h 32m
(c) 4h 08m
(d) 5h 12m
(e) 6h 25m

第一轮答案：
EEBBC BECDB
DBAAA DECBC
CDDDA DEBBD

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